TDNTestTrước khi bắt đầu
Bài này giúp em hiểu vì sao các quy tắc về số và chữ số đúng, để khi gặp bài lạ em vẫn tự tìm ra cách làm. Đọc xong bài này, em hãy sang bài Các dạng bài và ví dụ để luyện từng dạng.
Học xong, em làm được 5 việc:
- Đếm nhanh có bao nhiêu số lập được từ các chữ số cho trước.
- Tìm số lớn nhất, số bé nhất thỏa điều kiện.
- Giải bài "viết thêm, xóa bớt chữ số" bằng cấu tạo số.
- Tìm chữ số tận cùng của một tổng, một tích mà không cần tính.
- Thử chọn có hệ thống để không sót đáp số.
Nhãn: L4 kiến thức lớp 4; L5 kiến thức lớp 5; Nâng cao kiến thức luyện thi vào lớp 6.
1Số và chữ số, hàng và lớp L4
Số khác chữ số thế nào?
- Chữ số là kí hiệu dùng để viết số. Có đúng 10 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
- Số được viết bằng một hay nhiều chữ số. Ví dụ: 7 là một chữ số; còn 705 là một số được viết bởi ba chữ số 7, 0, 5.
- Một chữ số có thể xuất hiện nhiều lần trong cùng một số. Ví dụ số 2026 có 4 chữ số, trong đó chữ số 2 xuất hiện hai lần.
Chỉ với 10 chữ số, ta viết được mọi số tự nhiên, nhờ đặt chúng ở các hàng khác nhau.
Nhắc lại cách viết số
- Chữ số đầu tiên bên trái của một số (có từ hai chữ số trở lên) phải khác 0. Ví dụ 705 là cách viết đúng; viết "075" thì không phải cách viết số tự nhiên, đó chỉ là số 75.
- Chữ số 0 ở giữa hoặc ở cuối thì hoàn toàn được. Ví dụ số 3042 có chữ số hàng trăm là 0; số 2050 có chữ số hàng đơn vị là 0.
- Mỗi chữ số đứng ở một hàng: đơn vị, chục, trăm, nghìn… Ba hàng gộp thành một lớp: lớp đơn vị, lớp nghìn, lớp triệu. Ví dụ số 2 026 345: lớp triệu là 2, lớp nghìn là 026, lớp đơn vị là 345.
Có bao nhiêu số có hai chữ số?
Cách nghĩ theo hàng: hàng chục có 9 cách chọn (1 đến 9, không được chọn 0), hàng đơn vị có 10 cách chọn (0 đến 9). Mỗi cách chọn hàng chục đi với 10 cách chọn hàng đơn vị, nên có \(9 \times 10 = 90\) số.
Kiểm tra bằng cách chia theo từng chục:
- Từ 10 đến 19 có 10 số: 10, 11, 12, …, 19.
- Từ 20 đến 29 cũng có 10 số; cứ thế đến từ 90 đến 99.
- Có 9 chục như vậy (chục 1, 2, …, 9), mỗi chục 10 số: \(9 \times 10 = 90\) số.
Hai cách cho cùng kết quả. Số 0 không đứng đầu được, nên không có "chục 0" (các số 00 đến 09 chỉ là số có một chữ số).
"Có 100 số có hai chữ số, vì mỗi hàng có 10 chữ số."
Hàng chục không được là 0, nên chỉ có \(9 \times 10 = 90\) số. Tương tự, có \(9 \times 10 \times 10 = 900\) số có ba chữ số.
2Cấu tạo số L4
Viết số theo hàng
Ta dùng chữ cái có gạch ngang trên đầu để chỉ một số mà các chữ số chưa biết: \(\overline{ab}\) là số có chữ số hàng chục là \(a\), hàng đơn vị là \(b\).
\(\overline{ab} = a \times 10 + b\)
\(\overline{abc} = a \times 100 + b \times 10 + c = \overline{ab} \times 10 + c\)
ví dụ: \(59 = 5 \times 10 + 9\); \(237 = 2 \times 100 + 3 \times 10 + 7 = 23 \times 10 + 7\)
Vì sao?
Chữ số ở hàng chục có giá trị gấp 10 lần chính nó, ở hàng trăm gấp 100 lần. Số đó bằng tổng giá trị của từng chữ số.
Từ đó có hai việc rất hay gặp trong đề thi:
- Viết thêm một chữ số vào bên phải: mọi chữ số cũ lùi sang trái một hàng, nên số cũ được nhân 10, rồi cộng chữ số mới.
- Xóa chữ số hàng đơn vị: ngược lại, số cũ \(= \) số mới \(\times 10 + \) chữ số bị xóa.
Viết thêm vào bên trái thì số cũ giữ nguyên, phần viết thêm được nhân với 10, 100, 1000… tùy số cũ có bao nhiêu chữ số. Ví dụ viết 12 vào bên trái số 48 (có hai chữ số) được \(1248 = 12 \times 100 + 48\).
"Viết thêm chữ số 2 vào bên phải số 45 thì số đó tăng thêm 2."
Số mới là \(452 = 45 \times 10 + 2\), tăng thêm \(452 - 45 = 407\) đơn vị.
Con nhớ chưa? (tự trả lời rồi bấm vào câu hỏi để xem đáp án)
Số 3042 có chữ số hàng trăm là mấy?
Là 0: 3042 gồm 3 nghìn, 0 trăm, 4 chục, 2 đơn vị. Chữ số 0 đứng giữa số là hoàn toàn được.
Viết thêm chữ số 5 vào bên phải số 2026 thì được số nào?
Được 20265. Số 2026 lùi sang trái một hàng (nhân 10) rồi cộng 5: \(20265 = 2026 \times 10 + 5\).
Xóa chữ số hàng đơn vị của số 2026 thì còn lại số nào?
Còn lại 202, và \(2026 = 202 \times 10 + 6\).
3So sánh số; số chẵn, số lẻ L4
So sánh hai số
- Khác số chữ số: số nào có nhiều chữ số hơn thì lớn hơn. Ví dụ \(999 < 1000\), vì 999 có 3 chữ số, còn 1000 có 4 chữ số.
- Cùng số chữ số: so từng hàng từ trái sang phải. Gặp hàng đầu tiên có chữ số khác nhau thì số nào có chữ số lớn hơn ở hàng đó là số lớn hơn.
"519 lớn hơn 528 vì chữ số cuối 9 lớn hơn 8."
Đừng nhìn chữ số cuối trước! So từ trái sang: hàng trăm 5 bằng 5; hàng chục 2 lớn hơn 1. Vậy \(528 > 519\), dù chữ số cuối 8 nhỏ hơn 9.
Số chẵn, số lẻ, số liên tiếp
- Số chẵn có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. Ví dụ: 30, 52, 2026.
- Số lẻ có chữ số tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9. Ví dụ: 41, 67, 2025.
- Số dài đến mấy cũng chỉ cần nhìn MỘT chữ số cuối cùng. Ví dụ 1278 tận cùng là 8 nên là số chẵn; 1279 tận cùng là 9 nên là số lẻ.
- Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1. Ví dụ: 10 và 11; 99 và 100.
- Hai số chẵn liên tiếp (hoặc hai số lẻ liên tiếp) hơn kém nhau 2, vì giữa chúng đã bỏ qua một số. Ví dụ: 12, (13), 14; 13, (14), 15.
Chẵn lẻ của tổng và hiệu
Không cần tính, em vẫn biết kết quả là số chẵn hay số lẻ:
| Phép tính | Kết quả | Ví dụ |
|---|---|---|
| chẵn + chẵn | chẵn | 4 + 6 = 10 |
| lẻ + lẻ | chẵn | 3 + 5 = 8 |
| chẵn + lẻ | lẻ | 4 + 3 = 7 |
| chẵn − chẵn | chẵn | 10 − 4 = 6 |
| lẻ − lẻ | chẵn | 9 − 3 = 6 |
| chẵn − lẻ, hoặc lẻ − chẵn | lẻ | 10 − 3 = 7; 9 − 4 = 5 |
Vì sao lẻ + lẻ lại ra số chẵn?
Xếp các chấm thành từng cặp. Số chẵn xếp vừa đủ cặp; số lẻ xếp xong còn thừa đúng 1 chấm. Cộng hai số lẻ thì hai chấm thừa ghép lại thành 1 cặp, nên không còn chấm nào thừa: kết quả là số chẵn.
Mẹo nhớ
- Hai số cùng loại (cùng chẵn hoặc cùng lẻ): cộng hay trừ đều ra số chẵn.
- Hai số khác loại (một chẵn, một lẻ): cộng hay trừ đều ra số lẻ.
- Dùng khi thử chọn: biết kết quả phải là số lẻ thì bỏ ngay mọi trường hợp cho số chẵn.
Con nhớ chưa? (tự trả lời rồi bấm vào câu hỏi để xem đáp án)
Nhìn vào đâu để biết một số là chẵn hay lẻ?
Chỉ nhìn chữ số tận cùng (hàng đơn vị). Ví dụ 35 790 tận cùng là 0 nên là số chẵn.
Hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau mấy đơn vị? Vì sao?
Hơn kém nhau 2, vì giữa hai số chẵn liên tiếp luôn có đúng một số lẻ bị bỏ qua. Ví dụ 18, (19), 20.
Số nào lớn hơn: 7096 hay 7101?
7101 lớn hơn. Cùng 4 chữ số; hàng nghìn 7 bằng 7; hàng trăm 0 nhỏ hơn 1, nên \(7096 < 7101\). Không cần xét tiếp hàng chục và hàng đơn vị.
4Quy tắc nhân: đếm số lập được L5 Nâng cao
Bài toán 1. Từ các chữ số 2, 4, 7 lập được bao nhiêu số có hai chữ số (các chữ số có thể giống nhau)?
Ta vẽ sơ đồ cây, chọn lần lượt từng hàng:
- Hàng chục: có 3 cách chọn là 2, 4 hoặc 7, vẽ thành 3 nhánh.
- Hàng đơn vị: từ mỗi nhánh hàng chục lại mọc ra 3 nhánh, vì hàng đơn vị cũng chọn được 2, 4 hoặc 7.
- Đếm số lập được: mỗi nhánh hàng chục cho 3 số, có 3 nhánh như thế: \(3 + 3 + 3 = 3 \times 3 = 9\) số.
Bài toán 2. Vẫn từ 2, 4, 7, nhưng chỉ lấy số lẻ có hai chữ số thì có bao nhiêu số?
- Hàng đơn vị của số lẻ phải là chữ số lẻ. Trong 2, 4, 7 chỉ có 7 là lẻ, nên hàng đơn vị chỉ có 1 cách.
- Hàng chục vẫn có 3 cách (2, 4, 7).
- Mỗi nhánh hàng chục chỉ mọc ra 1 nhánh: \(3 \times 1 = 3\) số, là 27, 47, 77.
Quy tắc nhân
\(\text{Số các số} = \text{cách hàng 1} \times \text{cách hàng 2} \times \ldots\)
nhân số cách chọn chữ số của từng hàng
Vì sao nhân?
Mỗi cách chọn hàng trước đều đi được với đủ các cách chọn hàng sau, như các nhánh của cây ở Hình 6 và Hình 7. Cộng các nhánh giống nhau nhiều lần (\(3 + 3 + 3\)) chính là phép nhân (\(3 \times 3\)).
- Bước 1
Xét hàng có điều kiện trước (hàng đơn vị nếu đề đòi số chẵn hoặc lẻ; hàng có chữ số cho sẵn).
- Bước 2
Xét các hàng còn lại.
Hàng cao nhất không được chọn 0.
Nếu đề đòi "các chữ số khác nhau" thì mỗi hàng bớt đi số chữ số đã dùng.
- Bước 3
Nhân các số cách chọn.
Với bài nhỏ, liệt kê lại để kiểm tra.
Ví dụ minh họa
Từ các chữ số 2, 4, 7 lập được bao nhiêu số lẻ có hai chữ số khác nhau?
Lời giải:
- Bước 1
Xét hàng có điều kiện trước: hàng đơn vị. Số phải lẻ, mà trong 2, 4, 7 chỉ có 7 là chữ số lẻ.
Hàng đơn vị có 1 cách: chữ số 7.
- Bước 2
Xét hàng chục. Hai chữ số phải khác nhau, mà chữ số 7 đã dùng ở hàng đơn vị, nên hàng chục chỉ còn 2 hoặc 4: 2 cách.
- Bước 3
Nhân số cách chọn: \(1 \times 2 = 2\) số.
Kiểm tra lại: liệt kê được 27 và 47.
So với Bài toán 2 (Hình 7), số 77 bị loại vì hai chữ số giống nhau.
Đáp số: 2 số
Từ 0, 1, 2, 3 lập số có bốn chữ số khác nhau: "\(4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\) số".
Hàng nghìn không được là 0, chỉ còn 3 cách: \(3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18\) số. Luôn hỏi: hàng cao nhất có được chọn 0 không?
5Chữ số tận cùng của tổng, tích Nâng cao
Quy tắc
- Chữ số tận cùng của một tổng chỉ phụ thuộc chữ số tận cùng của các số hạng. Ví dụ \(38 + 47\): chỉ cần \(8 + 7 = 15\), nên tổng tận cùng bằng 5 (thật vậy \(38 + 47 = 85\)).
- Chữ số tận cùng của một tích chỉ phụ thuộc chữ số tận cùng của các thừa số. Ví dụ \(37 \times 24\): chỉ cần \(7 \times 4 = 28\), nên tích tận cùng bằng 8 (thật vậy \(37 \times 24 = 888\)).
Vì sao?
Khi đặt tính theo cột, chữ số hàng đơn vị của kết quả chỉ được tạo ra từ các chữ số ở cột đơn vị. Phần "nhớ" luôn được chuyển sang hàng chục, không bao giờ quay lại hàng đơn vị. Vì vậy các chữ số hàng chục, hàng trăm… không ảnh hưởng tới chữ số tận cùng.
Áp dụng: muốn biết tích của một số với chính nó (\(a \times a\)) tận cùng bằng chữ số nào, chỉ cần nhân chữ số tận cùng với chính nó. Lập bảng cho 10 chữ số:
- Các chữ số tận cùng 0, 1, 5, 6 nhân với chính nó bao nhiêu lần vẫn giữ nguyên (ví dụ \(6 \times 6 = 36\), \(5 \times 5 = 25\)).
- Trong một tích, mỗi cặp thừa số 2 và 5 tạo ra một chữ số 0 ở tận cùng, vì \(2 \times 5 = 10\). Ví dụ \(4 \times 25 = 100\): \(4 = 2 \times 2\) và \(25 = 5 \times 5\), có hai cặp 2 và 5, nên tích có hai chữ số 0.
- Nhân nhiều lần cùng một số thì chữ số tận cùng lặp lại theo vòng. Ví dụ với 9: 9, 1, 9, 1… nên số lượng thừa số 9 chẵn thì tận cùng là 1, lẻ thì tận cùng là 9.
"Tích \(1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 50\) có 5 chữ số 0 ở tận cùng vì có 5 số tròn chục 10, 20, 30, 40, 50."
Phải đếm thừa số 5: các số 5, 15, 25, 35, 45 cũng tạo chữ số 0 khi nhân với số chẵn, và 25, 50 có hai thừa số 5. Kết quả là 12 chữ số 0 (xem Dạng 3 ở bài Các dạng bài).
🎯 Liên hệ đề thi
Đề thi vào lớp 6 các trường chất lượng cao hay có một câu "viết thêm, xóa bớt chữ số" hoặc "đếm số lập được". Lên lớp 6, phần chữ số tận cùng được học sâu hơn ở chuyên đề lũy thừa (CD1).
Thử sức
Ghép hai chữ số 6 và 3 thành một số có hai chữ số. Em ghép được những số nào? Mỗi số đó là số chẵn hay số lẻ?
Lời giải:
- Bước 1
Ghép số: chữ số 6 đứng hàng chục thì được 63
Chữ số 3 đứng hàng chục thì được 36.
Có 2 số (đúng quy tắc nhân: hàng chục 2 cách, hàng đơn vị còn 1 cách, \(2 \times 1 = 2\)).
- Bước 2
Xét chẵn lẻ: 63 tận cùng là 3 nên là số lẻ
36 tận cùng là 6 nên là số chẵn.
Đáp số: 63 (số lẻ) và 36 (số chẵn)
Tổng kết
Năm điều cần nhớ
- Chữ số đầu tiên bên trái của một số phải khác 0.
- \(\overline{ab} = a \times 10 + b\); viết thêm một chữ số vào bên phải là nhân 10 rồi cộng chữ số đó.
- Đếm số lập được: nhân số cách chọn từng hàng; xét hàng có điều kiện trước, hàng cao nhất không chọn 0.
- Chữ số tận cùng của tổng, tích chỉ phụ thuộc chữ số tận cùng của từng số; \(a \times a\) không tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
- Thử chọn phải liệt kê đủ các khả năng, rồi loại bằng điều kiện của đề.
Vì sao chữ số đầu tiên bên trái phải khác 0?
Vì chữ số 0 ở đầu không làm thay đổi giá trị: 052 chính là 52, chỉ có hai chữ số. Vậy khi đề nói "số có ba chữ số" thì chữ số hàng trăm phải khác 0.
Số điện thoại như 0912 345 678 có chữ số 0 ở đầu, vậy có sai quy tắc không?
Không sai. Số điện thoại, mã số học sinh, biển số xe… là nhãn để gọi tên, không phải số tự nhiên dùng để tính toán, nên được phép có chữ số 0 ở đầu. Quy tắc "chữ số đầu khác 0" chỉ áp dụng khi viết số tự nhiên.
Khi nào nên lập đẳng thức theo cấu tạo số, khi nào nên thử chọn?
Đề có "viết thêm", "xóa bớt", "gấp … lần" thì lập đẳng thức theo cấu tạo số (Dạng 2). Đề có nhiều điều kiện nhỏ (chẵn lẻ, hiệu hai chữ số…) mà ít khả năng thì thử chọn bằng bảng (Dạng 4).
Có cần học thuộc bảng ở Hình 10 không?
Không cần. Em chỉ cần nhớ cách lập: nhân chữ số tận cùng với chính nó rồi lấy chữ số cuối. Điều quan trọng cần nhớ là 2, 3, 7, 8 không bao giờ xuất hiện.