TDNTestCách dùng bài này
Bài gồm 4 dạng toán về số và chữ số, mỗi dạng có nhiều ví dụ từ dễ đến khó. Với mỗi dạng, em đọc theo thứ tự: nhận biết → cách làm → ví dụ (tự làm trước, rồi mới xem lời giải) → bẫy hay gặp.
Kiến thức nền (hàng, cấu tạo số, chẵn lẻ, quy tắc nhân, chữ số tận cùng) và lý do vì sao các quy tắc đúng nằm ở bài Số - Chữ Số — Lý thuyết trọng tâm. Em nên đọc bài đó trước.
Nhận biết nhanh dạng toán:
- Đề cho sẵn các chữ số, hỏi "lập được bao nhiêu số", "số lớn nhất, bé nhất" → Dạng 1.
- Đề có "viết thêm", "xóa đi", "gấp … lần", "tăng thêm … đơn vị" → Dạng 2.
- Đề hỏi "chữ số tận cùng", "có bao nhiêu chữ số 0 ở tận cùng", "có thể … được không" → Dạng 3.
- Đề có nhiều điều kiện nhỏ về các chữ số (chẵn lẻ, hiệu, tích…) → Dạng 4.
Ghi nhớ
- Khi lập số, luôn kiểm tra chữ số ở hàng cao nhất có được phép bằng 0 hay không.
- Khi thêm một chữ số vào bên phải, số cũ phải được nhân 10 rồi cộng thêm chữ số mới.
- Khi xóa một chữ số ở bên phải, số bị chia 10 hoặc tách theo cấu tạo hàng.
Dạng 1. Viết số tự nhiên từ những số cho trước
Nhận biết
Đề cho sẵn một nhóm chữ số (ví dụ 0, 1, 2, 3) rồi hỏi: lập được bao nhiêu số, số lớn nhất hay bé nhất là số nào, hoặc thêm điều kiện chẵn, lẻ, các chữ số khác nhau, một hàng có chữ số cố định.
Đây là dạng mở đầu và cũng xuất hiện rất nhiều trong đề kiểm tra. Học sinh cần làm tốt ba việc: đếm số lượng số có thể viết được, tìm số lớn nhất - nhỏ nhất, và tìm số thỏa thêm điều kiện chẵn, lẻ, chia hết hoặc có chữ số cố định ở một hàng.
Một số dạng yêu cầu của đề bài
- Đếm có bao nhiêu số viết được → xét lần lượt từng hàng: hàng nghìn, trăm, chục, đơn vị
- Tìm số lớn nhất → Chọn chữ số lớn nhất cho hàng cao nhất rồi giảm dần
- Tìm số nhỏ nhất → Chọn chữ số nhỏ nhất khác 0 cho hàng cao nhất, các hàng sau tăng dần
- Tìm số chẵn lớn nhất → Hàng đơn vị phải là 0, 2, 4, 6, 8 rồi tối đa hóa các hàng còn lại
- Tìm số lẻ nhỏ nhất → Hàng đơn vị phải là 1; 3; 5; 7; 9; hàng cao nhất nhỏ nhất có thể.
Cách giải thông dụng
Để giải dạng toán lập được bao nhiêu số có hai chữ số, ba chữ số,... từ các số đã cho, ta thường áp dụng quy tắc nhân để tìm ra được số cách chọn từ đó tìm ra được số các số cần tìm.
Số các số cần tìm = tích số cách chọn các chữ số ở mỗi hàng
Các bước giải
- Bước 1
Xét số cách chọn ở mỗi hàng
- Trường hợp 1: các chữ số ở mỗi hàng có thể giống hoặc khác nhau
- Xét số cách chọn chữ số từ hàng cao nhất tới hàng đơn vị
- Nếu chữ số cho trước có chữ số 0 thì số cách chọn chữ số hàng cao nhất phải trừ thêm 1 → vì số 0 không được chọn ở hàng cao nhất
- Ví dụ: từ 3 chữ số 2;4;7 nếu đề yêu cầu số cần tìm số có 2 chữ số là số lẻ thì hàng chục có 3 cách chọn chữ số từ 2; 4; 7, hàng đơn vị có 1 cách chọn là chữ số 7 vì số cần tìm là số lẻ
- Trường hợp 2: các chữ số ở mỗi hàng yêu cầu phải khác nhau
- Ưu tiên xét số cách chọn chữ số từ các hàng có tính chất cụ thể trước → ví dụ đề yêu cầu số cần tìm là số chẵn hoặc lẻ thì phải xét số cách chọn của hàng đơn vị trước (0;2;4;6;8) hoặc (1;3;5;7;9)
- Tiếp tục xét số cách chọn của các hàng từ cao tới thấp, Số cách chọn của hàng đang xét phải trừ bớt số hàng đã xét trước đó
- Nếu chữ số cho trước có chữ số 0 thì số cách chọn chữ số hàng cao nhất phải trừ thêm 1 → vì số 0 không được chọn ở hàng cao nhất
- Ví dụ: từ 3 chữ số 2;4;7 nếu đề yêu cầu số cần tìm số có 2 chữ số khác nhau là số lẻ thì xét hàng đơn vị trước, hàng đơn vị có 1 cách chọn là chữ số 7 → hàng chục sẽ có 3 - 1 = 2 cách chọn vì trong 3 chữ số 2; 4; 7 đã chọn 1 chữ số 7 cho hàng đơn vị.
- Trường hợp 1: các chữ số ở mỗi hàng có thể giống hoặc khác nhau
- Bước 2
Nhân lần lượt số các cách chọn đã liệt kê ở bước 1, kết quả cho ta được số các số tạo được phù hợp với yêu cầu của đề bài.
- Trường hợp 1: các chữ số ở mỗi hàng có thể giống hoặc khác nhau
- Số các số cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 3 × 1 = 3 (số)
- Kiểm tra: từ 3 chữ số 2; 4; 7 ta lập được các số có 2 chữ số là số lẻ là: 27; 47; 77 → 3 số có 2 chữ số là số lẻ.
- Trường hợp 2: các chữ số ở mỗi hàng yêu cầu phải khác nhau
- Số các số cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 1 × 2 = 2 (số)
- Kiểm tra: từ 3 chữ số 2; 4; 7 ta lập được các số có 2 chữ số khác nhau là số lẻ là: 27; 47 → 2 số có 2 chữ số khác nhau là số lẻ.
- Trường hợp 1: các chữ số ở mỗi hàng có thể giống hoặc khác nhau
Ví dụ 1
Từ các chữ số 2; 4; 5; 7 lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?
Lời giải:
- Bước 1
Xét số cách chọn các chữ số phù hợp yêu cầu đề bài ưu tiên các hàng có tính chất cụ thể trước. Số cách chọn của hàng đang xét phải trừ bớt số cách chọn của các hàng đã xét trước đó → Ở đây ta thấy cần ưu tiên hàng đơn vị trước, vì số cần tìm là số chẵn nên hàng đơn vị chỉ có thể là 2 hoặc 4.
- Hàng đơn vị: có 2 cách chọn chữ số là 2 và 4 → vì đề yêu cầu số lập được là số chẵn
- Hàng trăm: có 3 cách chọn chữ số là các chữ số trừ đi 1 chữ số hàng đơn vị đã chọn (vì đề yêu cầu số có 3 chữ số khác nhau nên trong 4 số đã cho, phải trừ đi 1 số đã chọn từ hàng đơn vị, chỉ còn lại 3 chữ số → có 3 cách chọn)
- Hàng chục: có 2 cách chọn chữ số là các chữ số trừ đi 1 chữ số hàng đơn vị đã chọn và 1 chữ số hàng trăm đã chọn.
- Bước 2
Nhân lần lượt số các cách chọn đã liệt kê ở bước 1, kết quả cho ta được số các số tạo được phù hợp với yêu cầu của đề bài.
- Số các số có 3 chữ số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 2 × 3 × 2 = 12 (số)
Hình dưới làm lại các bước trên bằng ô hàng.
Số trong vòng cam là thứ tự xét: hàng đơn vị (có điều kiện) được xét đầu tiên.
Kiểm tra lại: Từ các chữ số 2; 4; 5; 7 ta lập được các số chẵn có 3 chữ số khác nhau là:
452; 472; 542; 742; 572; 752; 254; 274; 524; 724; 574
754 → 12 số chẵn có 3 chữ số khác nhau
Đáp số: 12 số
Ví dụ 2
Cho bốn chữ số 0, 1, 2, 3. Hỏi có thể viết được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho?
Lời giải:
Hướng nghĩ: Chữ số 0 không thể đứng ở hàng nghìn.
Ta xét từng hàng từ trái sang phải
- Bước 1
Xét số cách chọn các chữ số phù hợp yêu cầu đề bài ưu tiên các hàng có tính chất cụ thể trước. Số cách chọn của hàng đang xét phải trừ bớt số cách chọn của các hàng đã xét trước đó
Lần lượt chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị như sau:
- Hàng nghìn có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn (1; 2; 3; vì chữ số 0 không thể đứng ở hàng nghìn)
- Hàng trăm còn 3 cách. (0; 1; 2; 3; trừ đi 1 chữ số đã chọn ở hàng nghìn)
- Hàng chục còn 2 cách. (0, 1, 2, 3 trừ đi 1 chữ số chọn ở hàng nghìn và 1 chữ số đã chọn ở hàng trăm)
- Hàng đơn vị còn 1 cách. (0, 1, 2, 3 trừ đi 1 chữ số đã chọn ở hàng nghìn, 1 chữ số đã chọn ở hàng trăm và 1 chữ số đã chọn ở hàng chục)
- Bước 2
Nhân lần lượt số các cách chọn từ hàng cao nhất tới đơn vị, kết quả cho ta được số các số tạo được phù hợp với yêu cầu của đề bài.
Vậy số các số viết được thỏa mãn điều kiện của đề bài là: 3 × 3 × 2 × 1 = 18 (số)
Kiểm tra bằng sơ đồ hình cây:
Chọn chữ số hàng nghìn là 1, ta được
Từ sơ đồ trên ta thấy: từ bốn chữ số đã cho, ta viết được 6 số có chữ số hàng nghìn là 1 thỏa điều kiện của đề bài
Tương tự ta viết được 6 số có chữ số hàng nghìn là 2 và 6 số có chữ số hàng nghìn là 3
Chữ số 0 không thể đứng ở hàng nghìn.
Vậy số các số thỏa mãn điều kiện đề bài là: 6 × 3 = 18 (số)
Đáp số: 18 số
Ví dụ 3
Cho bốn chữ số 0, 1, 2, 3. Tìm số lớn nhất và số bé nhất có bốn chữ số khác nhau lập được từ các chữ số đó.
Lời giải:
Hướng nghĩ: Số lớn nhất phải có chữ số lớn nhất ở hàng cao nhất
Số nhỏ nhất phải chọn chữ số nhỏ nhất khác 0 ở hàng nghìn
Muốn lập số lớn nhất, ta phải đặt các chữ số lớn nhất ở hàng cao nhất
- Hàng cao nhất là hàng nghìn: ta chọn số 3 là số lớn nhất
- Hàng trăm: ta chọn số 2 là số to nhất, trừ số 3 đã được chọn từ trước
- Hàng chục: ta chọn số 1
- Hàng đơn vị: ta chọn số 0
Vậy số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau tạo từ 4 chữ số 0; 1; 2; 3 là: 3210.
Muốn lập số nhỏ nhất, ta phải đặt các chữ số nhỏ nhất khác 0 ở hàng cao nhất, rồi tiếp tục với các hàng còn lại.
- Hàng cao nhất là hàng nghìn: ta chọn số 1 là số nhỏ nhất, vì không được chọn số 0
- Hàng trăm: ta chọn số 0 là số nhỏ nhất
- Hàng chục: ta chọn số 2, vì số 0 và 1 đã được chọn
- Hàng đơn vị: ta chọn số 3
Vậy số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau tạo từ 4 chữ số 0; 1; 2; 3 là: 1023
Đáp số: 3210 và 1023
Ví dụ 4
Cho năm chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số mà chữ số hàng trăm là 2?
Lời giải:
Hướng nghĩ: Cố định hàng trăm là 2.
Hàng nghìn không được là 0 và không được trùng.
Hàng đơn vị phải chẵn.
Số cần tìm có chữ số hàng trăm là 2.
Vậy ta phải xác định các chữ số hàng nghìn, hàng chục và hàng đơn vị nữa
- Hàng nghìn: có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn: 1; 2; 3; 4 (không được chọn chữ số 0)
- Hàng trăm: có 1 cách chọn chữ số hàng trăm là chữ số 2.
- Hàng chục: có 5 cách chọn chữ số hàng chục: 0; 1; 2; 3; 4
- Hàng đơn vị: có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị: 0; 2; 4
Vậy số các số thỏa mãn điều kiện của đề bài là: 4 × 1 × 5 × 3 = 60 (số)
Đáp số: 60 số.
Ví dụ 5
Viết liên tiếp 15 số lẻ đầu tiên để được một số tự nhiên. Hãy xóa đi 15 chữ số của số tự nhiên vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự của các chữ số còn lại để được số lớn nhất. Cho biết số lớn nhất đó.
Lời giải:
Viết 15 số lẻ đầu tiên liên tiếp ta được số tự nhiên:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
Để sau khi xóa 15 chữ số ta nhận được số lớn nhất thì chữ số giữ lại đầu tiên kể từ bên trái phải là chữ số 9.
Vậy trước hết ta xóa 4 chữ số đầu tiên của số trên là: 1; 3; 5; 7 như sau: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29, số còn lại là:
9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
Ta phải xóa tiếp 15 - 4 = 11 chữ số của số còn lại để được số lớn nhất.
Để sau khi xóa ta nhận được số lớn nhất thì chữ số thứ hai giữ lại kể từ bên trái phải là chữ số 9.
Vậy ta xóa như sau: 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29, số còn lại là:
9 9 21 23 25 27 29
Ta phải xóa tiếp 11 - 9 = 2 chữ số của số còn lại để được số lớn nhất.
Thứ tự các số từ thứ ba bên trái qua phải là: 212325..., mà chỉ còn được xóa 2 chữ số nữa nên chữ số thứ ba còn lại kể từ bên trái phải là 2, và ta phải xóa 2 chữ số là 1 và 2 như sau: 9 9 21 23 25 27 29, vậy số lớn nhất cần tìm là: 9 923 252 729
Ba lượt xóa trên được vẽ lại trong hình dưới (chữ số bị xóa có gạch đỏ, chữ số được giữ có khung xanh):
Đáp số: 9 923 252 729
Bốn điều đáng nhớ khi đếm số lập được
- Các chữ số khác nhau: mỗi hàng đã dùng một chữ số thì hàng sau bớt đi một cách chọn.
- Có điều kiện (chẵn, lẻ, cố định một hàng): xét hàng có điều kiện trước.
- Có chữ số 0: 0 không được đứng ở hàng cao nhất.
- Được lặp lại: số cách chọn ở các hàng không giảm.
Thử sức
Từ bốn chữ số 1, 3, 5, 6 lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau?
Lời giải:
Số chẵn nên xét hàng đơn vị trước: chỉ có chữ số 6 là chẵn, 1 cách.
Hàng trăm còn 3 cách (1, 3, 5), hàng chục còn 2 cách.
Số các số: 1 × 3 × 2 = 6 (số).
Kiểm tra: 136, 156, 316, 356, 516, 536.
Đáp số: 6 số
Bẫy hay gặp
Từ 0, 1, 2, 3 lập số có bốn chữ số khác nhau: "\(4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\) số", vì quên chữ số 0 không được đứng ở hàng nghìn.
Hàng nghìn chỉ có 3 cách (1, 2, 3): \(3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18\) số. Có chữ số 0 thì luôn xét hàng cao nhất riêng.
Đếm số chẵn có ba chữ số khác nhau từ 2, 4, 5, 7 bằng cách chọn từ hàng trăm trước: "hàng trăm 4 cách, hàng chục 3 cách, hàng đơn vị 2 cách (2 hoặc 4), vậy \(4 \times 3 \times 2 = 24\) số".
Nếu hàng trăm đã lấy mất 2 hoặc 4 thì hàng đơn vị không còn đủ 2 cách. Phải xét hàng có điều kiện trước: hàng đơn vị 2 cách, hàng trăm 3 cách, hàng chục 2 cách: \(2 \times 3 \times 2 = 12\) số.
Dạng 2. Các bài toán giải bằng phân tích cấu tạo số
Nhận biết
Đề nói về việc viết thêm hoặc xóa đi chữ số, hoặc so sánh số với tổng, hiệu, tích các chữ số của nó: "gấp lên … lần", "tăng thêm … đơn vị", "giảm đi …".
Đây là nhóm bài rất quan trọng. Bản chất của dạng này là dùng cấu tạo số để đổi một phép biến đổi bằng chữ thành đẳng thức số học.
Bốn bước: gọi — lập — giải — thử
- Gọi số cần tìm bằng chữ, ví dụ \(\overline{ab}\) với \(\overline{ab} = a \times 10 + b\).
- Lập đẳng thức đúng theo lời đề bài.
- Giải để tìm a, b (hay cả số \(\overline{ab}\)).
- Thử lại đáp số với đề bài.
Một số mẫu biến đổi rất hay gặp:
- Nếu viết thêm chữ số d vào bên phải số N thì số mới là: N × 10 + d
- Nếu viết thêm một số có hai chữ số \(\overline{ab}\) vào bên trái số N thì số mới là \(\overline{ab}\) × 10 × 10 × ... × 10 + N, trong đó số lần nhân 10 bằng số chữ số của N. Ví dụ viết 12 vào bên trái số 48 được 1248 = 12 × 100 + 48
- Nếu xóa chữ số hàng đơn vị của số \(\overline{abc}\) thì còn lại \(\overline{ab}\)
- Nếu xóa hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số \(\overline{abcd}\) thì còn lại \(\overline{ab}\)
- Số gấp mấy lần tổng các chữ số → gọi \(\overline{ab}\) hoặc \(\overline{abc}\) rồi lập công thức số học theo a, b, c
- Số chia cho hiệu các chữ số → Xét hiệu các chữ số rồi thử các trường hợp hợp lí
- Số gấp k lần tích các chữ số → Thường khai thác chữ số tận cùng hoặc chia hết
- Viết ngược lại không đổi → Nghĩ đến các số dạng đối xứng: \(\overline{abba}\), \(\overline{abcba}\).
Ví dụ 1
Khi viết thêm số 12 vào bên trái một số tự nhiên có hai chữ số thì số đó gấp lên 26 lần. Tìm số có hai chữ số đó.
Lời giải:
Gọi số cần tìm là \(\overline{ab}\).
Viết thêm số 12 vào bên trái ta được số: \(\overline{12ab}\)
Theo đề bài ta có:
\(\overline{12ab}\) = \(\overline{ab}\) × 26
12 × 100 + \(\overline{ab}\) = \(\overline{ab}\) × 26
1200 = \(\overline{ab}\) × 26 - \(\overline{ab}\) (*)
1200 = \(\overline{ab}\) × (26 - 1)
1200 = \(\overline{ab}\) × 25
\(\overline{ab}\) = 1200 : 25
\(\overline{ab}\) = 48
Thử lại: 1248 : 48 = 26 (thỏa mãn)
Vậy số cần tìm là 48.
Cách 2 (sơ đồ đoạn thẳng): coi số \(\overline{ab}\) là 1 phần thì số \(\overline{12ab}\) là 26 phần.
Số \(\overline{12ab}\) gồm 1200 và \(\overline{ab}\), nên 1200 ứng với 26 − 1 = 25 phần.
1 phần: 1200 : 25 = 48.
Số cần tìm là 48.
Đáp số: 48
Ví dụ 2
Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó tăng thêm 4106 đơn vị. Tìm số có ba chữ số đó.
Lời giải:
Hướng nghĩ: Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\).
Khi thêm 2 vào bên phải, số mới là \(\overline{abc2}\) = \(\overline{abc}\) × 10 + 2
Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\).
Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải ta được số \(\overline{abc2}\).
Theo đề bài ta có:
\(\overline{abc2}\) = \(\overline{abc}\) + 4106
\(\overline{abc}\) × 10 + 2 = \(\overline{abc}\) + 4106
\(\overline{abc}\) × 10 - \(\overline{abc}\) = 4106 - 2
\(\overline{abc}\) × (10 - 1) = 4104
\(\overline{abc}\) × 9 = 4104
\(\overline{abc}\) = 4104 : 9
\(\overline{abc}\) = 456
Vậy số cần tìm là 456
Cách 2 (sơ đồ đoạn thẳng): coi số \(\overline{abc}\) là 1 phần.
Viết thêm 2 vào bên phải thì số mới gấp 10 lần rồi thêm 2, tức là 10 phần và thêm 2.
Bỏ đi 1 phần (đúng bằng số cũ), chỗ còn lại là phần số mới hơn số cũ: 9 phần và 2 bằng 4106.
9 phần: 4106 − 2 = 4104. 1 phần: 4104 : 9 = 456.
Thử lại: 4562 − 456 = 4106.
Đáp số: 456
Ví dụ 3
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó gấp lên 10 lần, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số vừa nhận được thì nó gấp lên 3 lần.
Lời giải:
Gọi số cần tìm là \(\overline{ab}\).
Khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số \(\overline{a0b}\).
Theo đề ta có:
\(\overline{ab}\) × 10 = \(\overline{a0b}\)
Vì \(\overline{ab}\) × 10 có tận cùng là 0, do đó b = 0, vậy số cần tìm có dạng \(\overline{a0}\).
Viết thêm chữ số 1 vào bên trái số \(\overline{a00}\) ta được số \(\overline{1a00}\), theo đề bài ta lại có:
\(\overline{1a00}\) = 3 × \(\overline{a00}\)
1000 + \(\overline{a00}\) = 3 × \(\overline{a00}\)
1000 = 3 × \(\overline{a00}\) - \(\overline{a00}\)
2 × \(\overline{a00}\) = 1000
\(\overline{a00}\) = 1000 : 2
\(\overline{a00}\) = 500
Vậy a = 5
A = 5, b = 0, số cần tìm là 50
Đáp số: 50.
Ví dụ 4
Khi xóa đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị của một số có bốn chữ số thì số đó giảm đi 4455 đơn vị. Tìm số có bốn chữ số đó.
Lời giải:
Gọi số cần tìm là \(\overline{abcd}\).
Xóa đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số \(\overline{ab}\)
Cách 1:
Theo đề bài ta có:
\(\overline{abcd}\) - \(\overline{ab}\) = 4455
\(\overline{ab}\) × 100 + \(\overline{cd}\) - \(\overline{ab}\) = 4455
\(\overline{cd}\) + \(\overline{ab}\) × 100 - \(\overline{ab}\) = 4455
\(\overline{cd}\) + \(\overline{ab}\) × 99 = 4455
\(\overline{cd}\) = 45 × 99 - \(\overline{ab}\) × 99
\(\overline{cd}\) = (45 - \(\overline{ab}\)) × 99
Ta thấy tích của 99 và một số tự nhiên là một số tự nhiên nhỏ hơn 100 nên 45 - \(\overline{ab}\) phải bằng 0 hoặc 1
Nếu 45 - \(\overline{ab}\) = 0 thì \(\overline{ab}\) = 45 và \(\overline{cd}\) = 00
Nếu 45 - \(\overline{ab}\) = 1 thì \(\overline{ab}\) = 44 và \(\overline{cd}\) = 99
Vậy số cần tìm là 4500 hoặc 4499.
Cách 2:
Theo đề bài ta có \(\overline{abcd}\) - \(\overline{ab}\) = 4455
Ta viết lại phép tính như sau:
Nhận xét: \(\overline{abcd}\) = 4455 + \(\overline{ab}\).
Hai chữ số đầu của kết quả là 44, hoặc 45 nếu phép cộng ở hàng chục có nhớ sang hàng trăm.
Mà hai chữ số đầu đó chính là \(\overline{ab}\).
- Nếu phép cộng ở hàng chục không nhớ thì \(\overline{ab}\) = 44 và \(\overline{abcd}\) = 4455 + 44 = 4499
- Nếu phép cộng ở hàng chục có nhớ thì \(\overline{ab}\) = 45 và \(\overline{abcd}\) = 4455 + 45 = 4500
Vậy số cần tìm là 4499 hoặc 4500
Đáp số: 4499 hoặc 4500
Ví dụ 5
Khi xóa đi chữ số hàng trăm của một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó giảm đi 7 lần. Tìm số có ba chữ số đó.
Lời giải:
Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\).
Xóa đi chữ số hàng trăm ta được số \(\overline{bc}\)
Theo đề bài ta có:
\(\overline{abc}\) = 7 × \(\overline{bc}\)
\(\overline{a00}\) + \(\overline{bc}\) = 7 × \(\overline{bc}\)
\(\overline{a00}\) = 7 × \(\overline{bc}\) - \(\overline{bc}\)
\(\overline{a00}\) = 6 × \(\overline{bc}\)
Vì \(\overline{bc}\) < 100 nên 6 × \(\overline{bc}\) < 600, tức là \(\overline{a00}\) < 600.
Vậy a chỉ có thể là 1, 2, 3, 4 hoặc 5 (a khác 0).
\(\overline{a00}\) = 6 × \(\overline{bc}\) nên \(\overline{a00}\) chia cho 6 phải không còn dư.
Ta thử từng số:
- 100 : 6 = 16 dư 4 (loại); 200 : 6 = 33 dư 2 (loại)
- 300 : 6 = 50 (chọn)
- 400 : 6 = 66 dư 4 (loại); 500 : 6 = 83 dư 2 (loại)
Vậy a = 3 và \(\overline{bc}\) = 300 : 6 = 50.
Vậy số cần tìm là 350.
Đáp số: 350
Ví dụ 6
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó.
Lời giải:
Gọi số cần tìm là \(\overline{ab}\)
Cách 1:
Theo đề bài ta có:
\(\overline{ab}\) = 5 × (a + b)
10 × a + b = 5 × a + 5 × b
10 × a - 5 × a = 5 × b - b
5 × a = 4 × b
4 × b là số chẵn, nên 5 × a cũng là số chẵn. 5 nhân với một số mà ra số chẵn thì tích tận cùng bằng 0 (ví dụ 5 × 2 = 10, 5 × 4 = 20).
Vậy 4 × b tận cùng bằng 0, mà chỉ có 4 × 0 = 0 và 4 × 5 = 20 tận cùng bằng 0, nên b = 0 hoặc b = 5.
- Nếu b = 0 thì a = 0 (loại)
- Nếu b = 5 thì 5 × a = 4 × 5 vậy a = 4
Vậy số cần tìm là 45.
Cách 2:
Theo đề ta có:
\(\overline{ab}\) = 5 × (a + b)
Vì 5 × (a + b) có tận cùng bằng 0 hoặc 5 nên b = 0 hoặc b = 5
- Nếu b = 0, thay vào ta có:
- \(\overline{a0}\) = 5 × a hay 10 × a = 5 × a vậy a = 0 (loại)
- Nếu b = 5, thay vào ta có:
- \(\overline{a5}\) = 5 × (a + 5)
- 10 × a + 5 = 5 × a + 25
- 5 × a = 20
- a = 4
Vậy số cần tìm là: 45.
Đáp số: 45
Ví dụ 7
Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho hiệu các chữ số của nó được thương bằng 28 và dư 1
Lời giải:
Gọi số cần tìm là \(\overline{ab}\) và hiệu các chữ số của nó là c
Theo đề bài ta có: \(\overline{ab}\) = c × 28 + 1
Vì \(\overline{ab}\) < 100 nên c × 28 < 99
Vậy c = 1
2 hoặc 3.
- Nếu c = 1 thì \(\overline{ab}\) = 29
- Thử lại: 9 - 2 = 7; 29 : 7 = 4 dư 1 (loại)
- Nếu c = 2 thì \(\overline{ab}\) = 57
- Thử lại: 7 - 5 = 2; 57 : 2 = 28 dư 1
- Nếu c = 3 thì \(\overline{ab}\) = 85
- Thử lại: 8 - 5 = 3; 85 : 3 = 28 dư 1
Vậy số cần tìm là 57 hoặc 85
Đáp số: 57; 85
Ví dụ 8
Tìm một số có ba chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó.
Lời giải:
Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\)
Theo đề bài ta có:
\(\overline{abc}\) = 5 × a × b × c
\(\overline{abc}\) bằng 5 nhân với một số, nên tận cùng bằng 0 hoặc 5 (5 nhân số chẵn tận cùng 0, nhân số lẻ tận cùng 5).
Vậy c = 0 hoặc c = 5.
Nếu c = 0 thì tích a × b × c = 0, khi đó \(\overline{abc}\) = 0: vô lí.
Vậy c = 5, số cần tìm có dạng \(\overline{ab5}\), thay vào ta có:
\(\overline{ab5}\) = 5 × a × b × 5
A × 100 + b × 10 + 5 = 25 × a × b
A × 20 + b × 2 + 1 = 5 × a × b (hai bên bằng nhau, cùng chia cho 5 thì vẫn bằng nhau)
Bên phải là 5 nhân với một số, nên tận cùng bằng 0 hoặc 5.
Vậy bên trái a × 20 + b × 2 + 1 cũng tận cùng bằng 0 hoặc 5.
A × 20 tận cùng bằng 0, nên b × 2 + 1 phải tận cùng bằng 0 hoặc 5.
Mà b × 2 + 1 là số lẻ, nên nó tận cùng bằng 5, tức là b × 2 tận cùng bằng 4.
Suy ra b = 2 hoặc b = 7 (2 × 2 = 4, 7 × 2 = 14).
- b = 2 thì \(\overline{a25}\) = 5 × a × 2 × 5: bên trái là số lẻ, bên phải là số chẵn (loại)
- b = 7 thì ta có: a × 20 + 15 = 35 × a → 15 × a = 15 → a = 1
Thử lại: 175 = 5 × 1 × 7 × 5
Vậy số cần tìm là 175
Đáp số: 175
Thử sức
Viết thêm chữ số 4 vào bên phải một số có hai chữ số thì số đó tăng thêm 454 đơn vị. Tìm số đó.
Lời giải:
Gọi số cần tìm là \(\overline{ab}\).
Viết thêm 4 vào bên phải được \(\overline{ab4} = \overline{ab} \times 10 + 4\).
Lập: \(\overline{ab} \times 10 + 4 = \overline{ab} + 454\).
Giải: hai bên cùng bớt \(\overline{ab}\) và bớt 4: \(\overline{ab} \times 9 = 450\)
Nên \(\overline{ab} = 450 : 9 = 50\).
Thử: 504 − 50 = 454.
Đáp số: 50
Bẫy hay gặp
Viết thêm 12 vào bên trái số \(\overline{ab}\): "\(\overline{12ab}\) = 12 + \(\overline{ab}\)" hoặc "= 12 × 10 + \(\overline{ab}\)".
Số \(\overline{ab}\) có hai chữ số nên phần viết thêm phải nhân với 100: \(\overline{12ab}\) = 12 × 100 + \(\overline{ab}\) = 1200 + \(\overline{ab}\). Đếm số chữ số của số cũ để biết nhân 10, 100 hay 1000.
Giải xong \(\overline{ab}\) = 48 là dừng, không thử lại.
Luôn thử lại với đề: 1248 : 48 = 26. Bài có nhiều trường hợp (như Ví dụ 4, Ví dụ 7) càng phải thử từng đáp số.
Dạng 3. Các bài toán về xét chữ số tận cùng của số
Nhận biết
Đề hỏi chữ số tận cùng (chữ số hàng đơn vị) của một tổng, hiệu, tích dài mà không cho tính hết; hỏi tích có bao nhiêu chữ số 0 ở tận cùng; hoặc hỏi một phép tính có thể đúng hay không.
Kiến thức cần nhớ
- Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng
- Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số tận cùng của các thừa số.
- Tổng 1 + 2 + 3 + ... + 9 có chữ số tận cùng là 5
- Tích 1 × 3 × 5 × 7 × 9 có chữ số tận cùng là 5
- Tích a × a không thể có chữ số tận cùng bằng: 2; 3; 7; hoặc 8
Trường hợp đặc biệt: tích các thừa số có chữ số tận cùng giống nhau
Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của \(\underbrace{9 \times 9 \times 9 \times...\times 9 \times 9}_{\text{2026 số 9}}\)
- Nhân lần lượt các số và xét chữ số tận cùng đến khi quy luật lặp lại
- Chia quy luật đó vào các nhóm
- Theo ví dụ trên thì chữ số tận cùng sẽ lặp lại theo quy luật là 9; 1 → số thừa số là chẵn thì tận cùng là 1, là lẻ thì tận cùng là 9
- Tìm chữ số cuối cùng
Các nội dung cần nhớ trong trường hợp này
- Các số có tận cùng là: 0, 1, 5, và 6 khi nhân với nhau thì sẽ có chữ số tận cùng là chính nó → khi giải toán chữ số tận cùng cần xem xét các trường hợp nào có các chữ số tận cùng là 0, 1, 5 và 6 không?
- Tích các thừa số có: 2 và 5 thì có số tận cùng là 0.
- Tích các thừa số có chữ số tận cùng là 2 thì sẽ có chữ số lặp lại theo quy luật: 2; 4 ; 8 ; 6 → Xem xét số dư số thừa số với 4 để cho ra chữ số tận cùng tương ứng.
- Ví dụ: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 (6 số 2). Cứ 4 thừa số thì quay lại một vòng 2, 4, 8, 6. 6 : 4 = 1 dư 2, nên tận cùng là số thứ 2 của vòng: 4. Thật vậy, tích bằng 64.
- Tích các thừa số có chữ số tận cùng là 7 thì sẽ có chữ số lặp lại theo quy luật: 7; 9 ; 3 ; 1 → Xem xét số dư số thừa số với 4 để cho ra chữ số tận cùng tương ứng.
- Ví dụ: 7 × 7 × 7 × 7 × 7 (5 số 7). 5 : 4 = 1 dư 1, nên tận cùng là số thứ 1 của vòng 7, 9, 3, 1: 7. Thật vậy, tích bằng 16807.
- Tích các thừa số có chữ số tận cùng là 9 thì sẽ có chữ số lặp lại theo quy luật: 9 ; 1 → Xem xét số dư số thừa số với 2 để cho ra chữ số tận cùng tương ứng.
- Ví dụ: tích của 2026 số 9. 2026 : 2 = 1013 dư 0. Dư 0 thì lấy số cuối của vòng (vì số thừa số vừa đủ các vòng): tận cùng là 1. Xem Ví dụ 4 và Hình 22.
Ví dụ 1
Không thực hiện phép tính, hãy cho biết chữ số hàng đơn vị của phép tính sau: (2001 + 2002 + ...+ 2009) - (21 + 32 + 43 + ... + 98 + 19)
Lời giải:
Ta có tổng 1 + 2 + 3 + .... + 9 có chữ số tận cùng là 5
Chữ số hàng đơn vị của tổng 2001 + 2002 + ....+ 2009 và 21 + 32+ ...+ 98 + 19 đều bằng chữ số hàng đơn vị của tổng 1 + 2 + ... + 9 và bằng 5
Nên hiệu trên sẽ có chữ số hàng đơn vị là: 5 - 5 = 0.
Đáp số: 0
Ví dụ 2
Có thể thay a, b trong phép tính sau bởi những chữ số thích hợp để được một phép tính đúng hay không? tại sao ?
a) \(\overline{12a}\) × \(\overline{12a}\) = \(\overline{a53b8}\)
b) \(\overline{3b}\) × \(\overline{3b}\) = \(\overline{17a7}\)
Lời giải:
a) Chữ số tận cùng của tích \(\overline{12a}\) × \(\overline{12a}\) bằng chữ số tận cùng của tích a × a.
Mà a × a không thể có tận cùng bằng 8 (a × a chỉ tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9).
Vậy tích \(\overline{12a}\) × \(\overline{12a}\) không thể bằng \(\overline{a53b8}\), là số có tận cùng bằng 8.
b) Tương tự, chữ số tận cùng của \(\overline{3b}\) × \(\overline{3b}\) bằng chữ số tận cùng của b × b, không thể bằng 7.
Vậy tích không thể bằng \(\overline{17a7}\).
Kết luận: cả hai trường hợp đều không thể thay a, b để được phép tính đúng
Ví dụ 3
Tích sau có tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
a) 13 × 14 × 15 × ... × 22
b) 1 × 2 × 3 × ... × 50
Lời giải:
a)
Trong tích có thừa số 20 tròn chục.
Thừa số này cho 1 chữ số 0 ở tích
Ví dụ: 20 × 21 = 420 → có 1 chữ số 0 ở cuối.
Thừa số 15 khi nhân với một số chẵn sẽ cho 1 chữ số 0 ở tích
Ví dụ: 15 × 22 = 330 → có 1 chữ số 0 ở cuối.
Vậy tích đã cho có tận cùng bằng 2 chữ số 0.
b)
Tích 1 × 2 × 3 × ... × 50 có thể phân ra thành 5 nhóm.
- Nhóm 1: 1 × 2 × ... × 10;
- Nhóm 2: 11 × 12 × ... × 20
- Nhóm 3: 21 × 22 × ... × 30
- Nhóm 4: 31 × 32 × ... × 40
- Nhóm 5: 41 × 42 × ... × 50
Ta có:
- Khi nhân với các số tròn chục 10; 20; 30; 40; sẽ có thêm 1 chữ số 0 ở tận cùng: ví dụ: 12 × 20 = 240
- Khi 50 nhân với số chẵn sẽ có thêm 2 chữ số 0 ở tận cùng: ví dụ 42 × 50 = 2100
- Khi nhân 25 với số chẵn có hàng đơn vị là 4 hoặc 8 thì có thêm 2 chữ số 0 ở tận cùng: 25 × 24 = 600
- Khi nhân các số 5; 15; 35; 45 với các số chẵn thì ta có thêm 1 chữ số 0 ở tận cùng: 35 × 36 = 1260
Với tính chất trên ta có:
- Nhóm 1: có 2 chữ số 0 ở tận cùng
- Nhóm 2: có 2 chữ số 0 ở tận cùng
- Nhóm 3: có 3 chữ số 0 ở tận cùng vì có trường hợp đặc biệt là 25
- Nhóm 4: có 2 chữ số 0 ở tận cùng
- Nhóm 5: có 3 chữ số 0 ở tận cùng vì có trường hợp đặc biệt là 50
Vậy số chữ số 0 ở tận cùng của tích đã cho là: 2 × 3 + 3 × 2 = 12 (chữ số 0).
Cách nhanh: đếm thừa số 5. Mỗi chữ số 0 ở tận cùng do một cặp 2 × 5 tạo ra.
Trong tích có rất nhiều thừa số 2 (mọi số chẵn), nên chỉ cần đếm thừa số 5.
Đáp số: a) 2 chữ số 0 b) 12 chữ số 0.
Ví dụ 4
Tìm chữ số tận cùng của \(\underbrace{9 \times 9 \times 9 \times...\times 9 \times 9}_{\text{2026 số 9}}\)
Lời giải:
Nhận xét:
Tích có 1 số 9 là 9, tận cùng là 9.
Tích có 2 số 9 là 81, tận cùng là 1.
Tích có 3 số 9 là 729, tận cùng là 9.
Tích có 4 số 9 là 6561, tận cùng là 1.
Nhận xét quy luật chẵn lẻ.
Số các thừa số là lẻ: Có chữ số tận cùng là 9.
Số các thừa số là chẵn: Có chữ số tận cùng là 1.
Do đó, tích của 2026 (chẵn) số 9: có chữ số tận cùng là 1.
Đáp số: 1.
Thử sức
9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 (bảy số 9) có chữ số tận cùng là chữ số nào?
Lời giải:
Tận cùng của tích các số 9 thay nhau 9, 1, 9, 1… Có 7 thừa số, 7 là số lẻ, nên tận cùng là 9. (7 : 2 = 3 dư 1 → số thứ nhất trong vòng 9, 1.)
Kiểm tra: \(9 \times 9 \times \ldots \times 9\) (7 số) = 4782969.
Đáp số: 9
Bẫy hay gặp
"Tích 1 × 2 × … × 50 có 5 chữ số 0 ở tận cùng vì có 5 số tròn chục."
Các số 5, 15, 25, 35, 45 nhân với số chẵn cũng tạo ra chữ số 0, và 25, 50 tạo ra hai. Đếm thừa số 5: được 12.
"Hiệu của hai số cùng tận cùng bằng 5 thì tận cùng bằng 5 − 5 = 0" rồi áp dụng cho cả trường hợp số bị trừ nhỏ hơn ở hàng đơn vị, ví dụ 23 − 18.
Khi chữ số hàng đơn vị của số bị trừ nhỏ hơn thì phải "mượn 10": 23 − 18 tận cùng bằng 13 − 8 = 5 (thật vậy 23 − 18 = 5).
Dạng 4. Phương pháp thử chọn, suy luận và loại trừ
Nhận biết
Đề cho nhiều điều kiện nhỏ về các chữ số (chẵn lẻ, hiệu hai chữ số, tích các chữ số, viết ngược lại không đổi…) và mỗi điều kiện chỉ để lại vài khả năng.
Có những bài không thuận lợi để lập biểu thức ngay. Khi đó, ta liệt kê các khả năng hợp lí rồi thử - loại nhanh.
Khi nào nên thử chọn?
- Khi số cần tìm chỉ có ít khả năng xảy ra
- Khi đề cho các điều kiện rất mạnh như chẵn - lẻ, hiệu hai chữ số, tổng hai chữ số, viết thêm một số nhỏ rồi được số đặc biệt
- Khi có thể lập bảng "chọn /loại" để nhìn ra đáp án nhanh hơn cách biến đổi đại số.
Ví dụ 1
Biết rằng hiệu giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của một số lẻ có hai chữ số bằng 3. Nếu thêm vào số đó 3 đơn vị ta được số có hai chữ số giống nhau. Tìm số đó.
Lời giải:
Cách 1:
Gọi số cần tìm là \(\overline{ab}\)
Những số lẻ có hai chữ số mà hai chữ số hơn kém nhau 3 là: 41; 63; 25; 47; 85; 69. (Đề nói "chữ số hàng chục trừ chữ số hàng đơn vị" thì chỉ cần 41; 63; 85. Ở đây ta liệt kê rộng hơn cho chắc; kết quả không đổi.)
Ta có bảng sau:
| \(\overline{ab}\) | \(\overline{ab}\) + 3 | Kết luận |
|---|---|---|
| 41 | 41 + 3 = 44 | Chọn |
| 63 | 63 + 3 = 66 | Chọn |
| 25 | 25 + 3 = 28 | Loại |
| 47 | 47 + 3 = 50 | Loại |
| 85 | 85 + 3 = 88 | Chọn |
| 69 | 69 + 3 = 72 | Loại |
Vậy số cần tìm là: 41
63 hoặc 85.
Cách 2:
Những số có hai chữ số giống nhau là: 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99;
Bớt đi mỗi số đó 3 đơn vị, ta được các số: 8; 19; 30; 41; 52; 63; 74; 85; 96
Theo đề bài, số cần tìm là số lẻ và hiệu giữa hai chữ số của số đó bằng 3
Ta có 3 số 41; 63; 85 thỏa yêu cầu đề ra
Vậy số cần tìm là 41
63 hoặc 85
Đáp số: 41; 63; 85
Ví dụ 2
Chữ số hàng chục của một số có ba chữ số khác nhau gấp 2 lần chữ số hàng đơn vị. Nếu lấy tích của chữ số hàng chục và hàng đơn vị chia cho chữ số hàng trăm thì được thương bằng 8. Tìm số đó.
Lời giải:
Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\), theo đề bài, số \(\overline{abc}\) chỉ có thể là \(\overline{a21}\), \(\overline{a42}\), \(\overline{a63}\), \(\overline{a84}\)
- (b × c) : a = 8
- a \(\ne\) b,c
→ a = (b × c) : 8 và a \(\ne\) b,c
Ta có bảng sau:
| \(\overline{abc}\) | a = (b × c) : 8 | Kết luận |
|---|---|---|
| \(\overline{a21}\) | 2 × 1 : 8 | Loại |
| \(\overline{a42}\) | 4 × 2 : 8 = 1 | Chọn |
| \(\overline{a63}\) | 6 × 3 : 8 | Loại |
| \(\overline{a84}\) | 8 × 4 : 8 = 4 | Loại (vì a = c) |
Vậy số cần tìm là 142
Thử lại: 142 có ba chữ số khác nhau
4 = 2 × 2
(4 × 2) : 1 = 8.
Đáp số: 142
Ví dụ 3
Tìm một số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng tổng các chữ số bằng 18, tích các chữ số bằng 64 và nếu viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì số đó không thay đổi.
Lời giải:
Theo đề bài thì số cần tìm có dạng \(\overline{abba}\)
Tổng của hai chữ số a và b là: 18 : 2 = 9
Số 9 có thể phân tích thành tổng của những cặp số sau: 0 và 9
1 và 8
2 và 7
3 và 6
4 và 5
Số cần tìm có thể là: 9009; 1881; 8118; 7227; 2772; 6336; 3663; 4554; 5445.
Ta có bảng sau:
| \(\overline{abba}\) | a × b × b × a | Kết luận |
|---|---|---|
| 9009 | 9 × 0 × 0 × 9 = 0 | Loại |
| 1881 | 1 × 8 × 8 × 1 = 64 | Chọn |
| 8118 | 8 × 1 × 1 × 8 = 64 | Chọn |
| 7227 | 7 × 2 × 2 × 7 = 196 | Loại |
| 2772 | 2 × 7 × 2 × 7 = 196 | Loại |
| 6336 | 6 × 3 × 3 × 6 = 324 | Loại |
| 3663 | 3 × 6 × 6 × 3 = 324 | Loại |
| 4554 | 4 × 5 × 5 × 4 = 400 | Loại |
| 5445 | 5 × 4 × 4 × 5 = 400 | Loại |
Vậy số cần tìm là: 1881 hoặc 8118
Đáp số: 1881 hoặc 8118
Bẫy hay gặp
Ví dụ 3: thử vài số, thấy 1881 đúng rồi trả lời ngay "số cần tìm là 1881".
Phải liệt kê đủ mọi khả năng (9 số dạng \(\overline{abba}\)) rồi mới loại. Làm vậy mới thấy còn 8118 cũng đúng.
Ví dụ 2: nhận cả \(\overline{484}\) vì 8 × 4 : 8 = 4.
Đề yêu cầu ba chữ số khác nhau, mà 484 có hai chữ số 4. Sau khi tìm được số, đọc lại mọi điều kiện của đề để loại.