TDNTestTrước khi bắt đầu
Bài này giúp em biết cách tìm quy luật của một dãy số, và hiểu vì sao các công thức của dãy cách đều đúng (vì sao phải "cộng 1", vì sao "chia 2"). Hiểu được điều đó, em không phải học thuộc máy móc mà vẫn tự lập lại công thức khi quên. Đọc xong, em hãy sang bài Các dạng bài và ví dụ để luyện từng dạng.
Học xong, em làm được 5 việc:
- Tìm quy luật và viết tiếp số hạng của một dãy số.
- Tính số số hạng, số hạng thứ n, tổng của dãy cách đều.
- Xét một số có thuộc dãy hay không.
- Đếm số chữ số, số lần một chữ số xuất hiện, tổng các chữ số khi viết một dãy số.
- Tính tổng của dãy số nhân bằng cách nhân rồi trừ.
Nhãn: L4 kiến thức lớp 4; L5 kiến thức lớp 5; Nâng cao kiến thức luyện thi vào lớp 6.
Chủ đề này trong đề Trần Đại Nghĩa Trọng tâm
Dãy số và quy luật là nhóm có nhiều câu nhất trong phần Toán của bài khảo sát vào lớp 6 Trần Đại Nghĩa: 12 câu trong 6 đề từ năm 2018 đến năm 2026.
- Tìm quy luật, viết số tiếp theo (2018, 2019, 2023). Ví dụ đề 2023: 2; 4; 10; 28; 82; …
- Số xếp thành bảng, dãy lặp lại (2019, 2020, 2023). Ví dụ: các số lẻ viết vào bảng 4 cột, hỏi số 2023 ở hàng nào, cột nào. Dạng này ra năm 2019 rồi ra lại năm 2023.
- Dãy hình, bảng vào – ra (2025, 2026). Ví dụ đề 2025: lon nước xếp thành hình lục giác 1; 7; 19; … lon.
- Dãy cách đều, đếm chữ số (2023, 2026). Ví dụ đề 2026: tổng năm số tự nhiên liên tiếp bằng 260; tính tiền làm các chữ số của số nhà.
Đề không hỏi công thức. Đề đưa một tình huống mới (bảng số, chuỗi hạt, cách xếp lon) và em phải tự nhìn ra quy luật. Hai dạng bảng số và dãy hình có ở Dạng 5, Dạng 6 của bài Các dạng bài và ví dụ; đề thật có lời giải ở bài tập TĐN · Đề thi thật.
Nhắc lại kiến thức cần dùng
1. Phép chia có dư và dấu hiệu chia hết Nâng cao
2026 : 3 = 675 (dư 1). Số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3; số tận cùng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5. Phần này em đã học ở bài Các Bài Toán Về Chia Hết - Chia Có Dư.
2. Hàng của chữ số L4
Trong số 274: 2 ở hàng trăm, 7 ở hàng chục, 4 ở hàng đơn vị. Số có 3 chữ số từ 100 đến 999. Phần này em đã học ở bài Số - Chữ Số.
1Dãy số, số hạng, số thứ tự L4
Dãy số là các số được viết theo một thứ tự, theo một quy luật nào đó. Mỗi số trong dãy là một số hạng; vị trí của nó (thứ 1, thứ 2, …) là số thứ tự.
Trong dãy 5; 8; 11; 14, "số hạng thứ 8" là số 8.
Số 8 là số hạng thứ 2. "Số hạng thứ 8" là số đứng ở vị trí thứ 8: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26. Luôn phân biệt giá trị của số với vị trí của nó.
2Tìm quy luật của dãy số L4 Nâng cao
Muốn tìm quy luật, em dò lần lượt theo thứ tự sau (dừng khi thấy quy luật đúng với mọi số đã cho):
- Bước 1
Xét hiệu hai số liền nhau: đều nhau là dãy cách đều
Tăng dần đều thì số sau = số trước + một số tăng dần.
- Bước 2
Số tăng rất nhanh thì xét phép nhân: số sau gấp mấy lần số trước, hay bằng tích hai số trước.
- Bước 3
So với các số trước: số sau có bằng tổng hai (ba) số đứng trước không.
- Bước 4
So với số thứ tự: số hạng thứ n có bằng n × 3, n × (n + 1), … không.
🔎 Các quy luật thường gặp
| Quy luật | Ví dụ | Cách nhận ra |
|---|---|---|
| Cộng đều (dãy cách đều) | 5; 8; 11; 14; … | Hiệu luôn bằng 3 |
| Nhân đều (dãy số nhân) | 3; 6; 12; 24; … | Số sau gấp 2 lần số trước |
| Số sau = tổng hai số trước | 1; 2; 3; 5; 8; … | 3 = 1 + 2; 5 = 2 + 3 |
| Số sau = tổng ba số trước | 1; 2; 3; 6; 11; … | 6 = 1 + 2 + 3; 11 = 2 + 3 + 6 |
| Số sau = số trước + số thứ tự + 3 | 2; 7; 13; 20; … | Hiệu 5, 6, 7 tăng dần (Hình 2) |
| Số sau = tích hai số trước | 2; 3; 6; 18; 108; … | Tăng rất nhanh; 18 = 3 × 6 |
| Số sau = số trước × số thứ tự | 1; 2; 6; 24; … | 24 = 6 × 4 (số thứ 4) |
| Số hạng thứ n = n × (n + 1) | 2; 6; 12; 20; … | 20 = 4 × 5 (số thứ 4) |
Em không cần học thuộc bảng: đi theo 4 bước dò ở trên là tìm ra.
Dãy 1; 2; … chắc chắn là "cộng thêm 1", nên số tiếp theo là 3.
Chỉ hai số thì chưa đủ để biết quy luật: 1; 2 có thể là cộng 1 (3, 4, …) hoặc nhân 2 (4, 8, …). Phải kiểm quy luật trên ít nhất 3 bước liên tiếp của dãy đã cho, rồi mới dùng.
3Dãy cách đều: ba công thức và vì sao L5
Dãy cách đều là dãy mà hai số liền nhau luôn hơn kém nhau một số không đổi, gọi là khoảng cách. Ví dụ 2; 5; 8; 11; 14 có khoảng cách 3.
1. Số số hạng
\(\text{Số số hạng} =\)
\((\text{số cuối} - \text{số đầu}) : \text{khoảng cách} + 1\)
Vì sao phải cộng 1?
Từ 2 đến 14 cách nhau 14 − 2 = 12, mỗi bước 3, nên có 12 : 3 = 4 khoảng. Nhưng 4 khoảng nằm giữa 5 số, giống như trồng cây ở cả hai đầu một hàng rào: 4 khoảng thì 5 cây.
2. Số hạng thứ n
\(\text{Số hạng thứ } n =\)
\(\text{số đầu} + \text{khoảng cách} \times (n - 1)\)
Vì sao là n − 1?
Từ số thứ 1 đến số thứ n phải đi n − 1 bước (từ số thứ 1 đến số thứ 2 là 1 bước). Mỗi bước thêm một khoảng cách. Ví dụ số hạng thứ 7 của dãy 2; 5; 8; … là 2 + 3 × 6 = 20.
3. Tổng các số hạng
\(\text{Tổng} =\)
\((\text{số đầu} + \text{số cuối}) \times \text{số số hạng} : 2\)
Vì sao? Ghép cặp
Viết tổng thêm một lần theo thứ tự ngược rồi cộng dọc: cột nào cũng bằng số đầu + số cuối (Hình 4). Có bao nhiêu số hạng thì có bấy nhiêu cột, và ta đã cộng tổng hai lần, nên phải chia 2.
Số hạng thứ 50 của dãy 1; 4; 7; 10; … là 1 + 3 × 50 = 151. Dãy 2; 5; …; 14 có (14 − 2) : 3 = 4 số hạng.
Từ số thứ 1 đến số thứ 50 chỉ có 49 bước: 1 + 3 × 49 = 148. Và (14 − 2) : 3 = 4 là số khoảng, số số hạng là 4 + 1 = 5. Thử với dãy ngắn để tự kiểm tra công thức.
4Một số có thuộc dãy hay không Nâng cao
Tìm một tính chất mà mọi số hạng của dãy đều có, rồi xem số cần xét có tính chất đó không. Hai cách hay dùng:
- Dùng số dư: dãy 2; 5; 8; 11; … bắt đầu từ 2 và cứ thêm 3, nên mọi số hạng chia 3 đều dư 2. Số 2026 chia 3 dư 1, nên 2026 không thuộc dãy.
- Liệt kê quanh số đó: với dãy tăng nhanh như 3; 6; 12; 24; …, viết tiếp đến khi vượt số cần xét. Số cần xét nằm giữa hai số hạng liền nhau thì không thuộc dãy.
Mọi số hạng của 3; 6; 12; 24; … (trừ số đầu) đều chẵn và chia hết cho 3; 666 chẵn và chia hết cho 3, nên 666 thuộc dãy.
Có tính chất chung chưa đủ để thuộc dãy. Viết tiếp: …; 192; 384; 768; … Số 666 nằm giữa 384 và 768, nên không thuộc dãy. Tính chất chung chỉ dùng để loại: số nào không có tính chất đó thì chắc chắn không thuộc dãy.
5Đếm chữ số và tổng các chữ số Nâng cao
Ba câu hỏi khác nhau
- Viết bao nhiêu chữ số? Chia dãy thành nhóm số có 1, 2, 3, … chữ số; mỗi nhóm lấy số lượng số × số chữ số mỗi số rồi cộng lại.
- Chữ số a xuất hiện bao nhiêu lần? Đếm theo từng hàng. Mẹo: viết đủ 00, 01, …, 99 (hoặc 000, …, 999) để mỗi hàng chạy đều 0 → 9.
- Tổng các chữ số là bao nhiêu? Ghép cặp các số có tổng chữ số bằng nhau, hoặc đếm số lần mỗi chữ số xuất hiện rồi nhân.
Tương tự, từ 000 đến 999 mỗi chữ số xuất hiện 100 lần ở mỗi hàng, tức 300 lần. Riêng chữ số 0: các số 00, 05, 054… thật ra không viết số 0 ở đầu, nên phải trừ đi các chữ số 0 "thêm vào".
Từ 1 đến 99, chữ số 0 cũng xuất hiện 20 lần như các chữ số khác.
Mẹo "viết đủ 00 → 99" đã thêm các số 0 đứng đầu (00, 01, …, 09) mà thực tế không viết. Chữ số 0 thật chỉ có ở 10, 20, …, 90: 9 lần.
6Dãy số nhân và tổng của nó Nâng cao
Dãy số nhân (cấp số nhân): mỗi số hạng, kể từ số thứ hai, bằng số đứng trước nhân với một số không đổi, gọi là công bội. Ví dụ 9; 27; 81; 243; 729 có công bội 3.
Tổng dãy số nhân: hiểu 9 + 27 + 81 + 243 + 729 từng bước
- Bước 1
Đặt tên: S = 9 + 27 + 81 + 243 + 729.
- Bước 2
Nhân với công bội: S × 3 = 27 + 81 + 243 + 729 + 2187.
Mỗi số "dời" sang thành số sau nó.
- Bước 3
Trừ: hai tổng có chung 27, 81, 243, 729, nên S × 3 − S = 2187 − 9 = 2178, tức S × 2 = 2178.
- Bước 4
Kết luận và thử lại: S = 2178 : 2 = 1089.
Cộng thẳng: 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1089.
Rút ra: Tổng = (số cuối × công bội − số đầu) : (công bội − 1).
S × 3 − S = S × 3, rồi lấy 2178 : 3.
3 lần S bớt đi 1 lần S còn 2 lần S: S × 3 − S = S × 2. Vì vậy chia cho 3 − 1 = 2.
🔗 Liên hệ
Công thức số số hạng giống bài toán trồng cây (chủ đề Bài toán trồng cây). Cách ghép cặp và nhân rồi trừ sẽ dùng nhiều trong chủ đề tiếp theo, Bài toán tính tổng có quy luật đặc biệt.
7Từ vựng tiếng Anh về dãy số
Trong bài khảo sát, các câu trắc nghiệm Toán viết bằng tiếng Anh. Em cần đọc được các từ sau.
| Tiếng Anh | Tiếng Việt | Ví dụ trong đề |
|---|---|---|
| sequence | dãy số | Look at this sequence of numbers. |
| pattern, rule | quy luật | … arranged according to a specific rule. |
| term | số hạng | the 10th term: số hạng thứ 10 |
| blank | chỗ trống | Which number is right for the blank? |
| consecutive natural numbers | các số tự nhiên liên tiếp | The sum of five consecutive natural numbers is 260. |
| sum, difference, product | tổng, hiệu, tích | the product of the ages: tích số tuổi |
| odd number, even number | số lẻ, số chẵn | The odd numbers 1, 3, 5, 7, … are filled in the table. |
| row, column | hàng, cột | Which column is 2019 in? |
| digit | chữ số | a three-digit number: số có ba chữ số |
| the largest, the smallest | lớn nhất, bé nhất | Which is the largest number among these five numbers? |
Tổng kết
Cần nhớ
- Tìm quy luật: xét hiệu → xét phép nhân → so với các số trước → so với số thứ tự; kiểm ít nhất 3 bước.
- Số số hạng = (cuối − đầu) : khoảng cách + 1, vì số số hơn số khoảng 1.
- Số hạng thứ n = đầu + khoảng cách × (n − 1), vì đi n − 1 bước.
- Tổng dãy cách đều = (đầu + cuối) × số số hạng : 2, vì ghép cặp xuôi ngược.
- Xét số thuộc dãy: dùng số dư để loại, liệt kê quanh số đó để chắc chắn.
- Đếm chữ số: chia nhóm theo số chữ số; đếm theo hàng; nhớ bỏ các số 0 đứng đầu.
Hỏi đáp
Dãy giảm dần (như 30; 27; 24; …) có dùng được các công thức không?
Được, chỉ cần lấy số lớn trừ số bé. Với số số hạng: (30 − 3) : 3 + 1 = 10 số nếu dãy kết thúc ở 3. Với số hạng thứ n: lấy số đầu trừ khoảng cách × (n − 1).
Khi nào số số hạng không cần "+ 1"?
Khi em đang đếm khoảng, không phải đếm số: ví dụ hỏi "có mấy bước nhảy từ 2 đến 14" thì là 4, không cộng 1.
Vì sao từ 000 đến 999 mỗi chữ số xuất hiện đúng 300 lần?
Có 1000 số, mỗi số 3 chữ số, tất cả 3000 chữ số. Ở mỗi hàng, 10 chữ số 0 → 9 thay nhau đều đặn, nên chia đều: 3000 : 10 = 300 lần cho mỗi chữ số.