TDNTestCách dùng bài này
Mỗi dạng có phần Nhận biết, Hướng làm, các ví dụ giải đầy đủ (có dòng Thử lại) và khung Bẫy hay gặp. Em hãy che lời giải, tự làm ví dụ trước rồi mới so. Nhận biết nhanh:
- Chỉ có một mốc (hiện nay), cho tổng, hiệu hoặc tỉ số → Dạng 1.
- Hỏi "sau mấy năm" hoặc "cách đây mấy năm" → Dạng 2.
- Cho tổng tuổi ở mốc khác (sau, trước n năm) → Dạng 3.
- Hai tỉ số ở hai mốc khác nhau → Dạng 4 (Nâng cao).
- Ba người trở lên → Dạng 5.
- Tỉ số cho bằng phân số, số thập phân, phần trăm, hoặc số đặc biệt (chia hết, tự nhiên) → Dạng 6.
- "Khi … sinh ra", "lúc … bằng tuổi … hiện nay" → Dạng 7.
- Các tuổi cách đều nhau (đề TĐN 2023) → Dạng 8.
Nhãn: L4 kiến thức lớp 4; L5 kiến thức lớp 5; Nâng cao kiến thức luyện thi vào lớp 6.
Ý chung của mọi dạng
Bài toán tuổi nào cũng dựa vào hiệu số tuổi không đổi và việc vẽ sơ đồ tại đúng mốc được hỏi.
- Bước 1
Ghi các mốc thời gian trong đề.
- Bước 2
Tìm hiệu số tuổi (không đổi).
- Bước 3
Chọn mốc có tỉ số (hoặc tổng) và vẽ sơ đồ phần tại mốc đó.
- Bước 4
Tìm 1 phần: hiệu : hiệu số phần hoặc tổng : tổng số phần.
- Bước 5
Đổi ra điều đề hỏi (số năm, tuổi hiện nay) và thử lại.
Dạng 1. Tổng – hiệu – tỉ ở hiện nay L4
Nhận biết
- Chỉ có mốc hiện nay, không có "sau", "trước".
- Cho tổng và hiệu, hoặc tổng và tỉ số, hoặc hiệu và tỉ số.
Hướng làm
- Bước 1
Nhận ra cặp dữ kiện: tổng – hiệu, tổng – tỉ hay hiệu – tỉ.
- Bước 2
Vẽ sơ đồ
Tổng thì cộng số phần, hiệu thì trừ số phần
Tìm 1 phần.
Ví dụ 1
Mai hơn em Mi 3 tuổi. Năm nay tổng số tuổi của hai chị em là 15 tuổi. Tính tuổi mỗi người.
Lời giải:
Nếu bớt phần hơn 3 tuổi của Mai, hai chị em còn lại bằng nhau.
Tuổi Mi là: (15 − 3) : 2 = 6 (tuổi).
Tuổi Mai là: 6 + 3 = 9 (tuổi).
Cách 2: áp dụng công thức hai số khi biết tổng và hiệu: số bé = (tổng − hiệu) : 2, số lớn = số bé + hiệu.
Thử lại: 9 + 6 = 15
9 − 6 = 3.
Đúng.
Đáp số: Mai 9 tuổi, Mi 6 tuổi
Ví dụ 2
Hiện nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Tổng số tuổi hai mẹ con là 40 tuổi. Tính tuổi mỗi người.
Lời giải:
Tuổi con 1 phần, tuổi mẹ 3 phần.
Tổng số phần là 3 + 1 = 4 (phần).
Một phần là: 40 : 4 = 10 (tuổi).
Tuổi con 10 × 1 = 10 (tuổi)
Tuổi mẹ 10 × 3 = 30 (tuổi).
Thử lại: 10 + 30 = 40
30 : 10 = 3.
Đúng.
Đáp số: Con 10 tuổi, mẹ 30 tuổi
Ví dụ 3
Hiện nay cha hơn con 24 tuổi. Tuổi cha gấp 3 lần tuổi con. Tính tuổi mỗi người.
Lời giải:
Hiệu số phần bằng nhau là: 3 − 1 = 2 (phần).
Hai phần ứng với 24 tuổi nên 1 phần là: 24 : 2 = 12 (tuổi).
Tuổi con: 12 × 1 = 12 (tuổi).
Tuổi cha: 12 × 3 = 36 (tuổi).
Thử lại: 36 − 12 = 24
36 : 12 = 3.
Đúng.
Đáp số: Con 12 tuổi, cha 36 tuổi
Tổng 40, mẹ gấp 3 lần con: "40 : 3".
Có tổng thì cộng số phần: 3 + 1 = 4, 40 : 4 = 10. Có hiệu thì trừ số phần.
Ghi nhớ
TỔNG: CỘNG PHẦN · HIỆU: TRỪ PHẦN · THỬ LẠI
Dạng 2. Tìm số năm (hiệu số tuổi không đổi) L4
Nhận biết
- Đề cho tuổi hai người hiện nay và hỏi sau (cách đây) bao nhiêu năm thì tuổi người này gấp … lần người kia.
Hướng làm
- Bước 1
Tính hiệu số tuổi (không đổi).
- Bước 2
Vẽ sơ đồ tại mốc có tỉ số: hiệu số phần ứng với hiệu số tuổi, tìm 1 phần, tìm tuổi người bé lúc đó.
- Bước 3
Đổi ra số năm: so với tuổi người bé hiện nay (sau: tuổi lúc đó − tuổi nay; trước: tuổi nay − tuổi lúc đó).
Ví dụ 1
Chị 32 tuổi, em 8 tuổi. Sau bao nhiêu năm nữa tuổi chị gấp đôi tuổi em?
Lời giải:
Hiệu số tuổi là: 32 − 8 = 24 (tuổi).
Lúc chị gấp đôi em: chị 2 phần, em 1 phần, hiệu số phần là 2 − 1 = 1 (phần).
Một phần ứng với 24 tuổi nên lúc đó em 24 tuổi.
Em từ 8 tuổi lên 24 tuổi mất: 24 − 8 = 16 (năm).
Thử lại: sau 16 năm chị 48, em 24
48 : 24 = 2.
Đúng.
Đáp số: 16 năm
Ví dụ 2
Năm nay anh 17 tuổi, em 8 tuổi. Hỏi cách đây mấy năm thì tuổi anh gấp 4 lần tuổi em?
Lời giải:
Hiệu số tuổi giữa anh và em là: 17 − 8 = 9 (tuổi).
Lúc anh gấp 4 lần em: hiệu số phần là 4 − 1 = 3 (phần).
Ba phần ứng với 9 tuổi nên 1 phần là 9 : 3 = 3 (tuổi): lúc đó em 3 tuổi.
Từ 3 tuổi đến 8 tuổi là: 8 − 3 = 5 (năm).
Vậy cách đây 5 năm.
Thử lại: cách đây 5 năm anh 12, em 3
12 : 3 = 4.
Đúng.
Đáp số: 5 năm
Tìm được "lúc đó em 24 tuổi" rồi trả lời 24.
Đề hỏi số năm: lấy tuổi lúc đó trừ tuổi hiện nay, 24 − 8 = 16 năm. "Cách đây" thì tuổi lúc đó nhỏ hơn tuổi nay.
Ghi nhớ
TUỔI NGƯỜI BÉ LÚC ĐÓ → SO VỚI TUỔI NAY → SỐ NĂM
Dạng 3. Tổng số tuổi đổi theo số năm L4
Nhận biết
- Đề cho tổng số tuổi ở mốc khác hiện nay ("cách đây 4 năm tổng …", "sau 3 năm tổng …").
- Có thể cho thêm hiệu hoặc tỉ số ở mốc đó.
Hướng làm
- Bước 1
Đổi tổng về hiện nay: sau (trước) n năm, tổng tăng (giảm) k × n.
- Bước 2
Dùng hiệu số tuổi hoặc sơ đồ phần để tìm từng tuổi.
Ví dụ 1
Cách đây 4 năm, tổng số tuổi hai chị em là 18 tuổi. Chị hơn em 4 tuổi. Tính tuổi hai chị em hiện nay.
Lời giải:
Từ cách đây 4 năm đến nay, mỗi người thêm 4 tuổi nên tổng tăng 2 × 4 = 8 (tuổi).
Tổng tuổi hiện nay: 18 + 8 = 26 (tuổi).
Tuổi em hiện nay: (26 − 4) : 2 = 11 (tuổi).
Tuổi chị: 11 + 4 = 15 (tuổi).
Thử lại: cách đây 4 năm chị 11, em 7, tổng 18.
Đúng.
Đáp số: Chị 15 tuổi, em 11 tuổi
Ví dụ 2
Sau 3 năm nữa, tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con và tổng số tuổi hai mẹ con lúc đó là 50. Tính tuổi mẹ và con hiện nay.
Lời giải:
Lúc đó: tổng số phần là 4 + 1 = 5 (phần), 1 phần là 50 : 5 = 10: con 10 tuổi, mẹ 40 tuổi.
Hiện nay mỗi người kém 3 tuổi: con 10 − 3 = 7 (tuổi), mẹ 40 − 3 = 37 (tuổi).
Thử lại: sau 3 năm: 37 + 3 = 40, 7 + 3 = 10, 40 : 10 = 4
40 + 10 = 50.
Đúng.
Đáp số: Mẹ 37 tuổi, con 7 tuổi
Hai người, sau 4 năm: "tổng tăng 4".
Mỗi người đều thêm tuổi: tổng tăng 2 × 4 = 8.
Ghi nhớ
TỔNG ĐỔI = SỐ NGƯỜI × SỐ NĂM
Dạng 4. Hai thời điểm, hai tỉ số Nâng cao
Nhận biết
- Đề cho tỉ số ở hai mốc ("hiện nay gấp 7 lần, sau 8 năm gấp 3 lần").
- Tỉ số là số lần hoặc phân số của tuổi người kia.
Hướng làm
- Bước 1
Hiệu số tuổi không đổi: vẽ hai sơ đồ, mỗi mốc một sơ đồ.
- Bước 2
Biểu diễn tuổi người bé theo hiệu số tuổi ở từng mốc.
- Bước 3
Phần tuổi người bé tăng (giảm) giữa hai mốc ứng với số năm đã cho: tìm hiệu số tuổi, rồi tuổi hiện nay.
Ví dụ 1
Hiện nay tuổi bố gấp 7 lần tuổi con. Sau 8 năm nữa, tuổi bố gấp 3 lần tuổi con. Tính tuổi con hiện nay.
Lời giải:
Hiện nay: bố 7 phần, con 1 phần, hiệu là 6 phần.
Sau 8 năm: bố 3 phần, con 1 phần, hiệu là 2 phần.
Hiệu số tuổi không đổi nên 6 phần lúc đầu bằng 2 phần lúc sau.
Tuổi con hiện nay bằng \(\frac{1}{6}\) hiệu
Tuổi con sau 8 năm bằng \(\frac{1}{2}\) hiệu.
Phần tăng của con là: \(\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}\) (hiệu).
Phần tăng thật là 8 tuổi nên hiệu số tuổi là: 8 : \(\frac{1}{3}\) = 24 (tuổi).
Tuổi con hiện nay: 24 × \(\frac{1}{6}\) = 4 (tuổi).
Tuổi bố: 4 × 7 = 28 (tuổi).
Thử lại: sau 8 năm bố 36, con 12, 36 : 12 = 3.
Đúng.
Đáp số: Con 4 tuổi, bố 28 tuổi
Ví dụ 2
Hiện nay tuổi con bằng \(\frac{1}{5}\) tuổi cha. Sau 12 năm nữa, tuổi con bằng \(\frac{3}{7}\) tuổi cha. Tính tuổi con hiện nay. L5
Lời giải:
Nếu con bằng \(\frac{1}{5}\) cha thì cha 5 phần, con 1 phần, hiệu 4 phần: tuổi con bằng \(\frac{1}{4}\) hiệu số tuổi.
Sau 12 năm, con bằng \(\frac{3}{7}\) cha thì cha 7 phần, con 3 phần, hiệu 4 phần: tuổi con bằng \(\frac{3}{4}\) hiệu số tuổi.
Phần tuổi con tăng thêm là: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\) (hiệu số tuổi).
Phần đó ứng với 12 tuổi nên hiệu số tuổi là: 12 : \(\frac{1}{2}\) = 24 (tuổi).
Tuổi con hiện nay: 24 × \(\frac{1}{4}\) = 6 (tuổi).
Tuổi cha: 6 × 5 = 30 (tuổi).
Thử lại: sau 12 năm con 18, cha 42
18 : 42 = 3 : 7.
Đúng.
Đáp số: Con 6 tuổi
"Hiện nay bố gấp 7 lần con, nên sau 8 năm bố vẫn gấp 7 lần con".
Tỉ số đổi, hiệu không đổi: vẽ sơ đồ ở từng mốc rồi nối hai sơ đồ bằng hiệu số tuổi.
Ghi nhớ
HAI MỐC · HAI SƠ ĐỒ · NỐI BẰNG HIỆU SỐ TUỔI
Dạng 5. Ba người trở lên L4
Nhận biết
- Ba người (mẹ – chị – em, ông – bố – cháu) trong cùng một đề.
- Cho hai hiệu số tuổi hoặc hai tỉ số có chung một người.
Hướng làm
- Bước 1
Đưa dữ kiện về cùng một mốc: tổng tuổi đổi theo 3 × n.
- Bước 2
Giữ nguyên các hiệu số tuổi
Vẽ sơ đồ ba đoạn thẳng.
Ví dụ 1
Trước đây 5 năm, tuổi 3 mẹ con cộng lại bằng 58. Hiện nay mẹ hơn chị 25 tuổi và hơn em 31 tuổi. Tính tuổi mỗi người hiện nay.
Lời giải:
Tổng tuổi hiện nay của 3 mẹ con là: 58 + 5 × 3 = 73 (tuổi). (Tổng tuổi 3 người sau 5 năm tăng 3 × 5 = 15 tuổi.)
Tuổi mẹ hơn chị 25 tuổi và hơn em 31 tuổi, nên tuổi chị hơn tuổi em: 31 − 25 = 6 (tuổi).
Theo sơ đồ, ba lần tuổi em là: 73 − 6 − 31 = 36 (tuổi).
Vậy tuổi em là: 36 : 3 = 12 (tuổi).
Tuổi chị là: 12 + 6 = 18 (tuổi).
Tuổi mẹ là: 12 + 31 = 43 (tuổi).
Thử lại: trước đây 5 năm: 38 + 13 + 7 = 58.
Đúng.
Đáp số: Mẹ 43 tuổi, chị 18 tuổi, em 12 tuổi
Ba người, sau 5 năm: "tổng tăng 5".
Ba người đều thêm tuổi: tổng tăng 3 × 5 = 15.
Ghi nhớ
BA NGƯỜI: TỔNG ĐỔI 3 × n · GIỮ CÁC HIỆU · SƠ ĐỒ BA THANH
Dạng 6. Phân số, số thập phân, phần trăm của tuổi L5
Nhận biết
- Tỉ số cho bằng phân số (\(\frac{1}{4}\)), số thập phân (4,2 lần) hoặc phần trăm (25 %).
- Đề có điều kiện tuổi là số tự nhiên, tuổi nằm trong một khoảng hợp lí.
Hướng làm
- Bước 1
Đổi tỉ số về phần: 25 % = \(\frac{1}{4}\) → 1 phần : 4 phần.
- Bước 2
Giải như Dạng 1
Với số thập phân thì dùng điều kiện tự nhiên để thử chọn.
Ví dụ 1
Tuổi con bằng 25 % tuổi mẹ. Mẹ hơn con 27 tuổi. Tính tuổi mỗi người. L5
Lời giải:
25 % = \(\frac{1}{4}\): con 1 phần, mẹ 4 phần.
Hiệu số phần là 4 − 1 = 3 (phần).
Ba phần ứng với 27 tuổi nên 1 phần là 27 : 3 = 9 (tuổi).
Con 9 tuổi, mẹ 9 × 4 = 36 (tuổi).
Thử lại: 9 : 36 = 25 %
36 − 9 = 27.
Đúng.
Đáp số: Con 9 tuổi, mẹ 36 tuổi
Ví dụ 2
Năm nay tuổi bà gấp 4,2 lần tuổi cháu. 10 năm trước tuổi bà gấp 10,6 lần tuổi cháu. Biết tuổi bà và tuổi cháu đều là số tự nhiên. Hãy tìm tuổi hiện nay của bà và cháu.
Lời giải:
Vì 4,2 × tuổi cháu là số tự nhiên nên số tuổi cháu hiện nay phải là một số có tận cùng bằng 0 hoặc 5.
Do 10 năm trước tuổi bà vẫn gấp 10,6 lần tuổi cháu nên tuổi cháu hiện nay phải lớn hơn 10.
Thử chọn tuổi cháu là 15 tuổi.
Tuổi bà là: 15 × 4,2 = 63 (tuổi).
Tỉ số 10 năm trước: (63 − 10) : (15 − 10) = 53 : 5 = 10,6.
Thỏa mãn đề bài.
Đáp số: Cháu 15 tuổi, bà 63 tuổi
"25 % tuổi mẹ" nên con có 25 phần.
25 % = \(\frac{1}{4}\): con 1 phần, mẹ 4 phần. Với số thập phân, khoanh vùng trước (tận cùng 0 hoặc 5, lớn hơn 10) rồi mới thử.
Ghi nhớ
PHẦN TRĂM → PHÂN SỐ → SỐ PHẦN · SỐ THẬP PHÂN → KHOANH VÙNG RỒI THỬ
Dạng 7. Lúc sinh ra, lúc "bằng tuổi" L4
Nhận biết
- "Khi Lan sinh ra, mẹ 26 tuổi": đó chính là hiệu số tuổi.
- "Khi anh bằng tuổi em hiện nay thì …": một mốc đặc biệt trong quá khứ.
Hướng làm
- Bước 1
Đổi mốc đặc biệt thành hiệu số tuổi (tuổi người lớn lúc người bé 0 tuổi).
- Bước 2
Vẽ sơ đồ tại mốc có tỉ số, tìm 1 phần, rồi đổi về hiện nay.
Ví dụ 1
Khi Lan sinh ra, mẹ 26 tuổi. Hiện nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Lan. Tính tuổi Lan hiện nay.
Lời giải:
Lúc Lan 0 tuổi, mẹ 26 tuổi nên hiệu số tuổi là 26 (tuổi), mãi mãi không đổi.
Hiện nay mẹ 3 phần, Lan 1 phần, hiệu 3 − 1 = 2 (phần).
Hai phần là 26 tuổi nên 1 phần là 13 (tuổi).
Lan 13 tuổi, mẹ 13 × 3 = 39 (tuổi).
Thử lại: 39 − 13 = 26.
Đúng.
Đáp số: Lan 13 tuổi
Ví dụ 2
Khi em sinh ra thì anh 6 tuổi. Trước đây, lúc tuổi anh bằng tuổi em hiện nay thì em chỉ bằng \(\frac{1}{3}\) tuổi anh. Tính tuổi em hiện nay.
Lời giải:
Hiệu số tuổi là 6 (tuổi).
Lúc đó anh 3 phần, em 1 phần, hiệu 2 phần nên 1 phần là 6 : 2 = 3: lúc đó em 3 tuổi, anh 9 tuổi.
Lúc đó anh 9 tuổi bằng tuổi em hiện nay: em hiện nay 9 tuổi, anh 9 + 6 = 15 tuổi.
Thử lại: lúc anh 9 tuổi, em 9 − 6 = 3 tuổi = \(\frac{1}{3}\) của 9.
Đúng.
Đáp số: Em 9 tuổi
"Khi Lan sinh ra" thì hiệu số tuổi bằng 0.
Lúc Lan sinh ra, Lan 0 tuổi, mẹ 26 tuổi: hiệu số tuổi là 26.
Ghi nhớ
KHI SINH RA: HIỆU = TUỔI NGƯỜI KIA LÚC ĐÓ
Dạng 8. Tuổi cách đều (đề TĐN 2023) Nâng cao
Nhận biết
- Các bạn xếp theo tuổi, hai bạn đứng cạnh nhau hơn kém nhau cùng một số.
- Cho tích hai tuổi hoặc tổng các tuổi.
Hướng làm
- Bước 1
Liệt kê các cặp có tích đã cho
Tính hiệu của mỗi cặp.
- Bước 2
Dựng dãy tuổi cách đều
Loại cặp làm bạn nhỏ nhất không còn tuổi (tuổi phải lớn hơn 0).
- Bước 3
Cộng các tuổi, thử lại với đề.
Ví dụ 1
An, Bình, Cường và Dũng đứng thành hàng, được xếp theo độ tuổi từ lớn đến nhỏ. Hiệu số tuổi của hai học sinh đứng cạnh nhau là một số bằng nhau và tích số tuổi của An và Bình là 120. Tổng số tuổi của bốn bạn là bao nhiêu? (Đề khảo sát TĐN 2023, trắc nghiệm Câu 14)
Lời giải:
Các cặp (An, Bình) có tích 120 và An lớn hơn Bình: 120 = 120 × 1 = 60 × 2 = 40 × 3 = 30 × 4 = 24 × 5 = 20 × 6 = 15 × 8 = 12 × 10.
Hiệu số tuổi của mỗi cặp chính là khoảng cách đều.
Bốn bạn phải có tuổi lớn hơn 0, nên Cường = Bình − hiệu và Dũng = Cường − hiệu đều phải còn tuổi.
Cặp 15 và 8: hiệu 7, Cường 8 − 7 = 1, Dũng không còn tuổi.
Mọi cặp có hiệu lớn hơn (20 và 6, 24 và 5, …) đều bị loại sớm hơn.
Cặp 12 và 10: hiệu 2, Cường 8, Dũng 6.
Bốn tuổi là 12, 10, 8, 6.
Tổng số tuổi là: 12 + 10 + 8 + 6 = 36 (tuổi).
Thử lại: 12 × 10 = 120
Hiệu mỗi lần 2.
Đúng.
Đáp số: 36 tuổi (đáp án C)
Ví dụ 2
Bốn anh em sinh cách đều nhau 2 tuổi, tổng số tuổi là 56. Tìm tuổi của người anh cả.
Lời giải:
Bốn tuổi cách đều nhau: tuổi trung bình bằng trung bình cộng của người lớn nhất và nhỏ nhất.
Tuổi trung bình là 56 : 4 = 14 (tuổi).
Anh cả hơn người út 3 × 2 = 6 (tuổi).
Anh cả và người út cách trung bình mỗi bên 3 tuổi: anh cả 14 + 3 = 17 (tuổi).
Thử lại: 17 + 15 + 13 + 11 = 56.
Đúng.
Đáp số: 17 tuổi
Chọn cặp 15 và 8 vì cũng có tích 120.
Phải dựng cả bốn tuổi: cặp 15 và 8 làm bạn thứ tư không còn tuổi, loại. Chỉ cặp 12 và 10 hợp.
Ghi nhớ
TÍCH → LIỆT KÊ CẶP → DỰNG DÃY → LOẠI CẶP KHÔNG HỢP → TỔNG
Tổng kết các dạng
Thấy gì, dùng gì
| Thấy trong đề | Dạng | Dùng gì |
|---|---|---|
| Một mốc: tổng, hiệu, tỉ số | 1 | Sơ đồ phần: cộng (tổng) hoặc trừ (hiệu) số phần |
| "Sau (cách đây) mấy năm" | 2 | Hiệu không đổi → tuổi người bé lúc đó → số năm |
| Tổng tuổi ở mốc khác | 3 | Tổng đổi số người × số năm |
| Hai tỉ số ở hai mốc | 4 | Hai sơ đồ, nối bằng hiệu số tuổi |
| Ba người trở lên | 5 | Đưa về một mốc, tổng đổi 3 × n, giữ các hiệu |
| Phân số, số thập phân, phần trăm | 6 | Đổi ra phần; thử chọn có khoanh vùng |
| "Khi … sinh ra", "lúc bằng tuổi" | 7 | Hiệu số tuổi = tuổi người kia lúc đó |
| Tuổi cách đều | 8 | Liệt kê cặp, dựng dãy, loại cặp không hợp |