TDNTestCách dùng bài này
Bài gồm 3 dạng toán tính tổng có quy luật, mỗi dạng có các ví dụ từ dễ đến khó. Với mỗi dạng, em đọc theo thứ tự: nhận biết → cách làm → ví dụ (tự làm trước, rồi mới xem lời giải) → bẫy hay gặp.
Lý do vì sao các công thức và mẹo tính đúng (hai bậc thang, nhân rồi trừ, triệt tiêu, tách phân số) nằm ở bài Bài Toán Tính Tổng Có Quy Luật Đặc Biệt — Lý thuyết trọng tâm. Em nên đọc bài đó trước.
Nhận biết nhanh dạng toán:
- Các số hơn kém đều nhau, hoặc gấp nhau một số lần không đổi → Dạng 1.
- Tổng các tích: 1 × 2 + 2 × 3 + …, 1 × 1 + 2 × 2 + … → Dạng 2.
- Tổng các phân số có mẫu là tích các số cách đều → Dạng 3.
Dạng toán "tính tổng có quy luật đặc biệt"
Đây là nhóm bài toán mà các số hạng hoặc các phân số trong tổng không xuất hiện ngẫu nhiên, mà được sắp xếp theo một quy luật nhất định. Quy luật đó có thể là cộng thêm cùng một số, nhân với cùng một số, hoặc được tạo ra theo một công thức đặc biệt.
- Tính tổng một dãy số cho trước.
- Tìm số hạng chưa biết để tổng bằng một giá trị đã cho.
- So sánh tổng của hai dãy số.
- Tính nhanh giá trị của biểu thức có nhiều số hạng.
Quy trình chung để giải một bài toán tính tổng có quy luật
- Đọc kỹ đề, xác định rõ dãy số hoặc biểu thức có bao nhiêu số hạng, số đầu, số cuối và quy luật giữa các số hạng.
- Phân tích xem bài phù hợp với cách nào: cộng trực tiếp, ghép cặp, viết theo thứ tự ngược, nhân rồi trừ, hay tách từng phân số thành hiệu.
- Trình bày lời giải theo từng bước rõ ràng.
- Kiểm tra lại kết quả bằng ước lượng hoặc thử với vài số hạng đầu.
Một số dấu hiệu nhận dạng trong đề
- Các số hơn kém nhau một khoảng cố định → Dãy số cách đều → Tìm số hạng, ghép cặp hoặc dùng công thức của dãy số cách đều
- Mỗi số gấp q lần số trước → Dãy có quy luật nhân → Nhân cả tổng với q rồi lấy hiệu
- Tổng kiểu 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... → Dãy số có quy luật khác → Biến đổi từng số hạng rồi triệt tiêu
- Phân số có quy luật ở tử hoặc mẫu → Tổng phân số có quy luật nhân → Nhân cả tổng với q hoặc quy về cấp số nhân
- Phân số có dạng \(\frac{1}{a \times b}\), \(\frac{2}{a \times b}\),... → Tổng phân số đặc biệt → Tách thành hiệu để rút gọn dần
- Biểu thức nhiều tích, nhiều số thập phân đẹp → Tính nhanh giá trị biểu thức → Nhóm số hạng, đặt thừa số chung, dùng tính chất phép tính
Dạng 1. Dãy số tự nhiên cách đều và dãy số có quy luật nhân (dãy số nhân) L5
Nhận biết
Các số hạng hơn kém nhau một số không đổi (dãy cách đều), hoặc số sau gấp số trước một số lần không đổi (dãy số nhân, kể cả các phân số như \(\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}\)).
Dãy số cách đều
Dãy số cách đều là dãy số có quy luật: mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với một số tự nhiên d không đổi
Số không đổi đó gọi là công sai hoặc là khoảng cách.
Các công thức cần nhớ:
Có thể giải nhanh bằng cách áp dụng công thức của dãy số cách đều như trên hoặc:
Tìm số số hạng của dãy → ghép cặp trực tiếp hoặc viết tổng theo thứ tự ngược rồi cộng hai tổng → tính tổng bằng cách lấy tổng của một cặp nhân với số cặp.
Nhớ nhanh: nhớ nhanh công thức của một số dãy tiêu biểu sau (vì sao: Hình 1, Hình 2 bài Lý thuyết trọng tâm)
- 1 + 2 + 3 + ... + n = n × (n + 1) : 2.
- 2 + 4 + 6 + ... + 2 × n = n × (n + 1).
- 1 + 3 + 5 + ... + (2 × n – 1) = n × n.
Dãy số có quy luật nhân Nâng cao
Dãy số nhân là dãy số có quy luật: mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với một số tự nhiên q không đổi hay số sau gấp số trước một số lần không đổi.
Số không đổi đó được gọi là công bội
Ví dụ: 2, 6, 18, 54, 162 → Là dãy số nhân với công bội = 3.
Công thức cần nhớ:
Có thể giải nhanh bằng cách áp dụng công thức của dãy số nhân như trên hoặc cách giải chi tiết với bài toán tự luận để tránh bị trừ điểm vì quá vắn tắt, bằng cách thực hiện như sau:
- Bước 1
Đặt tổng cần tìm là A
- Bước 2
Nhân cả tổng với q để tạo ra một tổng mới có nhiều số hạng giống tổng ban đầu nhưng lệch đi một bước.
- Bước 3
Lấy tổng mới trừ tổng cũ để khử bớt phần giữa
- Bước 4
Sau khi rút gọn, tìm được giá trị A.
Xem thêm cách làm chi tiết ở chủ đề Dãy Số (Dạng 3 và Dạng 4).
Ví dụ 1
Tính tổng: A = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100
Lời giải:
Cách 1:
Ta viết A = 1 + 2 + 3 + ... + 100.
Viết ngược lại: A = 100 + 99 + 98 + ... + 1.
Khi cộng hai tổng, mỗi cặp đều bằng 101.
Có 100 cặp như vậy nên A × 2 = 101 × 100 = 10 100.
Suy ra A = 10 100 : 2 = 5 050.
Cách 2:
Dãy trên có n = 100 số hạng, vậy tổng của dãy trên là: n × (n + 1) : 2 = 100 × 101 : 2 = 5 050
Kiểm tra lại công thức với dãy ngắn: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 4 × 5 : 2.
Đáp số: 5 050
Ví dụ 2
Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lớn nhất là 2027.
Lời giải:
Hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, nên đây là dãy số cách đều với khoảng cách là 2
Từ số nhỏ nhất đến số lớn nhất có 50 − 1 = 49 bước, nên số lớn nhất nhiều hơn số nhỏ nhất là: (50 − 1) × 2 = 98
Số đầu tiên của dãy 50 số lẻ là: 2027 − 98 = 1929
Tổng của dãy số là: (1929 + 2027) × 50 : 2 = 98 900
Kiểm tra lại số số hạng: (2027 − 1929) : 2 + 1 = 50.
Đáp số: 98 900
Ví dụ 3
Tìm số a biết: (a + 2) + (a + 4) + (a + 6) + ... + (a + 2022) + (a + 2024) + (a + 2026) = 1 034 273
Lời giải:
Mỗi ngoặc có một số a và một số chẵn.
Ta gom các số a riêng, các số chẵn riêng (Hình 7):
(a + a + a + ... + a + a) + (2 + 4 + 6 + ... + 2024 + 2026) = 1 034 273
2; 4; 6; ...; 2024; 2026 là dãy số cách đều với khoảng cách là 2
Số số hạng của dãy là: (2026 − 2) : 2 + 1 = 1013 (số hạng), nên có 1013 ngoặc, tức 1013 số a.
Tổng của dãy là: (2026 + 2) × 1013 : 2 = 1 027 182
Tổng trên viết lại thành: 1013 lần số a + 1 027 182 = 1 034 273.
Số hạng chưa biết (1013 lần số a) bằng tổng trừ số hạng đã biết: 1 034 273 − 1 027 182 = 7091.
Thừa số chưa biết a bằng tích chia cho thừa số đã biết: a = 7091 : 1013 = 7.
Thử lại: 1013 × 7 + 1 027 182 = 7091 + 1 027 182 = 1 034 273.
Đáp số: a = 7
Ví dụ 4 Nâng cao
Tính A = 2 + 6 + 18 + ... + 486.
Lời giải:
Mỗi số hạng sau gấp 3 lần số hạng trước nên đây là dãy số nhân với công bội là 3: 2; 6; 18; 54; 162; 486.
Cách 1:
A = 2 + 6 + 18 + 54 + ... + 486
Nhân cả tổng với 3 ta được:
A × 3 = (2 + 6 + 18 + 54 + ... + 486) × 3
A × 3 = 6 + 18 + 54 + ... + 486 + 1 458
Lấy A × 3 trừ A thì các số ở giữa bị triệt tiêu:
A × 3 − A = 6 + 18 + 54 + ... + 486 + 1 458 − (2 + 6 + 18 + 54 + ... + 486)
A × 2 = 1 458 – 2 = 1 456
A = 1 456 : 2 = 728
Cách 2:
Số đầu là: 2.
Số cuối là: 486.
Công bội là: 3
Áp dụng công thức tính tổng của dãy số nhân ta có:
A = (486 × 3 − 2) : (3 − 1) = 728
Thử lại bằng cộng thẳng: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728.
Đáp số: 728
Ví dụ 5 Nâng cao
Tính A = \(\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + ... + \frac{1}{729}\)
Lời giải:
Đây cũng là tổng có quy luật nhân, nhưng các số hạng là phân số L5.
Mỗi số hạng sau bằng số trước nhân với \(\frac{1}{3}\) (mẫu số gấp 3 lần).
Cách 1:
A = \(\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + ... + \frac{1}{729}\)
Nhân cả tổng với \(\frac{1}{3}\) ta được:
\( \frac{1}{3} \times A = \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + ... + \frac{1}{729} + \frac{1}{2187}\)
Lấy A trừ \( \frac{1}{3} \times A\) thì các số ở giữa bị triệt tiêu:
\(A - \frac{1}{3} \times A = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + ... + \frac{1}{729} - (\frac{1}{9} + \frac{1}{27} + ... + \frac{1}{729} + \frac{1}{2187})\)
\(\frac{2}{3} \times A = \frac{1}{3} - \frac{1}{2187}\)
\(\frac{2}{3} \times A = \frac{728}{2187} \)
\(A = \frac{728}{2187} : \frac{2}{3} = \frac{728}{2187} \times \frac{3}{2} = \frac{364}{729}\)
Vậy A = \(\frac{364}{729}\)
Cách 2:
Viết lại tổng trên thành: \(A = \frac{1}{729} + \frac{1}{243} + ... + \frac{1}{27} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3}\)
Dãy trên là dãy số nhân với công bội là 3, số đầu là \(\frac{1}{729}\) và số cuối là \(\frac{1}{3}\), ta có:
\(A = (\frac{1}{3} \times 3 - \frac{1}{729}) : (3 - 1) \)
\(A = \frac{729 - 1}{729} : 2 \)
\(A = \frac{364}{729} \)
Thử lại bằng quy đồng mẫu 729: \(\frac{243 + 81 + 27 + 9 + 3 + 1}{729} = \frac{364}{729}\).
Đáp số: \(\frac{364}{729}\)
Ví dụ 6 Đề TĐN 2022
(Đề khảo sát TĐN 2022, Bài 2) Cho A = 1 + 3 + 5 + … + 2021 + 2023 và B = 2 + 4 + 6 + … + 2020 + 2022. Tính A − B.
Lời giải:
Đếm số hạng. A có (2023 − 1) : 2 + 1 = 1012 số hạng.
B có (2022 − 2) : 2 + 1 = 1011 số hạng.
A nhiều hơn B đúng một số hạng.
Ghép cặp. Để riêng số 1 của A, ghép mỗi số còn lại của A với số liền trước nó trong B: (3 − 2), (5 − 4), …, (2023 − 2022).
Mỗi cặp bằng 1 và có 1011 cặp.
A − B = 1 + (3 − 2) + (5 − 4) + … + (2023 − 2022) = 1 + 1011 × 1 = 1012.
Thử lại bằng cách tính riêng: A = (1 + 2023) × 1012 : 2 = 1 024 144
B = (2 + 2022) × 1011 : 2 = 1 023 132
A − B = 1012.
Đáp số: 1012
Bẫy hay gặp
50 số lẻ liên tiếp, số lớn nhất 2027, nên số nhỏ nhất là 2027 − 50 × 2 = 1927.
50 số chỉ có 49 khoảng: số nhỏ nhất là 2027 − 49 × 2 = 1929. Kiểm tra: (2027 − 1929) : 2 + 1 = 50 số.
Dạng 2. Dãy số có quy luật khác thường gặp Nâng cao
Nhận biết
Đây là dạng thú vị hơn vì quy luật không chỉ là cộng đều hoặc nhân đều: các số hạng là tích (1 × 2, 2 × 3, …; 1 × 1, 2 × 2, …). Nhiều bài thuộc nhóm này có thể biến đổi từng số hạng để xuất hiện phép triệt tiêu.
Ghi nhớ: Một số mẫu thường gặp:
- \( 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + ... + n \times (n+1)\) = n × (n + 1) × (n + 2) : 3
- \( 1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + ... + n \times n\) = n × (n + 1) × (2 × n + 1) : 6
- \( 1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 + ... + n \times (n + 3) \) = n × (n + 1) × (n + 5) : 3
→ Với các bài tính nhanh có thể áp dụng công thức kết quả bên cạnh, còn dạng bài tự luận thì cần chứng minh qua từng bước như trong các ví dụ bên dưới. Các ví dụ viết với chữ n (một số bất kì); em nên thử lại bằng một số cụ thể, ví dụ n = 10.
Hướng giải
- Tìm cách viết mỗi tích dưới dạng hiệu của hai tích lớn hơn để khi cộng lại, nhiều số hạng triệt tiêu.
- Hoặc biến đổi biểu thức thành tổng của hai dãy quen thuộc rồi dùng công thức đã biết.
- Nếu quy luật chưa rõ, hãy viết 3 – 4 số đầu và tìm mối liên hệ giữa chúng.
Ví dụ 1
Tính \(A = 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + ... + n \times (n+1)\)
Hướng giải:
Nhân cả tổng với 3 rồi viết từng tích k × (k + 1) dưới dạng hiệu của hai tích ba số liên tiếp (Hình 4, bài Lý thuyết trọng tâm, làm với n = 4)
Ta có:
- \(1 \times 2 \times 3 = 1 \times 2 \times (3 - 0) = 1 \times 2 \times 3 - 0 \times 1 \times 2\)
- \(2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3 \times (4 - 1) = 2 \times 3 \times 4 - 1 \times 2 \times 3\)
- \(3 \times 4 \times 3 = 3 \times 4 \times (5 - 2) = 3 \times 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 4\)
- \(4 \times 5 \times 3 = 4 \times 5 \times (6 - 3) = 4 \times 5 \times 6 - 3 \times 4 \times 5\)
- ...
Khi cộng các đẳng thức kiểu đó, nhiều số hạng ở giữa triệt tiêu.
Lời giải:
Nhân cả tổng với 3 ta được:
\(A \times 3 = (1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + ... + n \times (n+1)) \times 3\)
\(A \times 3 = 1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 3 + 3 \times 4 \times 3 + .... + n \times (n + 1) \times 3\)
\(A \times 3 = 1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times (4 - 1) + 3 \times 4 \times (5 - 2) + ...\)
\(... + n \times (n + 1) \times [(n + 2) - (n - 1)]\)
\(A \times 3 = 1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 - 1 \times 2 \times 3 + 3 \times 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 4 + ...\)
\(... + n \times (n + 1) \times (n + 2) - (n - 1) \times n \times (n + 1)\)
\(A \times 3 = n \times (n + 1) \times (n + 2)\)
\(A = n \times (n + 1) \times (n + 2) : 3\)
Thử lại với n = 10: cộng thẳng 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 + 90 + 110 = 440
Công thức: 10 × 11 × 12 : 3 = 440.
Đáp số: n × (n + 1) × (n + 2) : 3
Ví dụ 2
Tính \(A = 1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + ... + n \times n\)
Hướng giải:
Viết tổng các tích hai số giống nhau thành hiệu giữa tổng kiểu \( k \times (k + 1)\) và tổng 1 + 2 + 3 + ... + n (Hình 8).
- \(1 \times 1 = 1 \times 2 - 1\)
- \(2 \times 2 = 2 \times 3 - 2\)
- \(3 \times 3 = 3 \times 4 - 3\)
- ...
→ Tổng \(1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + ... = [1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + ... ] - (1 + 2 + 3 + ...)\) với tổng đầu là dạng k × (k + 1) giống ví dụ 1.
Lời giải:
Ta có:
- \(1 \times 1 = 1 \times 2 - 1\)
- \(2 \times 2 = 2 \times 3 - 2\)
- \(3 \times 3 = 3 \times 4 - 3\)
- ...
- \(n \times n = n \times (n+1) - n\)
Cộng các đẳng thức trên, ta được:
\(A = 1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + ...+ n \times n \)
\( = [1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + ...+ n \times (n + 1) ] - (1 + 2 + 3 + ...+ n)\)
Từ kết quả của ví dụ 1, ta có:
\( [1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + ...+ n \times (n + 1) ] = n \times (n + 1) \times (n + 2) : 3\)
\( 1 + 2 + 3 + ...+ n = n \times (n + 1) : 2\)
Thay vào tổng A ta được:
\( A = n \times (n + 1) \times (n + 2) : 3 - n \times (n + 1) : 2\)
Nhân A với 6 (6 chia hết cho cả 3 và 2) ta được:
\(A \times 6 = n \times (n + 1) \times (n + 2) \times 2 - n \times (n + 1) \times 3\)
\(A \times 6 = n \times (n + 1) \times [(n + 2) \times 2 - 3]\)
\(A \times 6 = n \times (n + 1) \times (2 \times n + 4 - 3)\)
\(A \times 6 = n \times (n + 1) \times (2 \times n + 1)\)
\(A = n \times (n + 1) \times (2 \times n + 1) : 6\)
Thử lại với n = 6: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91
Công thức: 6 × 7 × 13 : 6 = 91.
Đáp số: n × (n + 1) × (2 × n + 1) : 6
Ví dụ 3
Tính A = \( 1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 + ... + n \times (n + 3) \)
Lời giải:
Ta có:
A = \( 1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 + ... + n \times (n + 3) \)
= \( 1 \times (1 + 3) + 2 \times (2 + 3) + 3 \times (3 + 3) + ... + n \times (n + 3) \)
= \( 1 \times 1 + 3 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 2 + 3 \times 3 + 3 \times 3 + ... + n \times n + 3 \times n \)
= \( (1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + ... + n \times n ) + (3 \times 1+ 3 \times 2 + 3 \times 3 + ... + 3 \times n) \)
Theo kết quả của ví dụ 2 ta có:
\(1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + ... + n \times n = n \times (n + 1) \times (2 \times n + 1) : 6\)
\( 3 \times 1+ 3 \times 2 + 3 \times 3 + ... + 3 \times n\)
\(= 3 \times ( 1 + 2 + 3 + ... + n)\)
\(= 3 \times n \times (n + 1) : 2\)
Thay vào A ta được:
A = \( n \times (n + 1) \times (2 \times n + 1) : 6 + 3 \times n \times (n + 1) : 2\)
Nhân A với 6 ta được:
A × 6 = \( n \times (n + 1) \times (2 \times n + 1) + 9 \times n \times (n + 1)\)
A × 6 = \( n \times (n + 1) \times [(2 \times n + 1) + 9 ]\)
A × 6 = \( n \times (n + 1) \times (2 \times n + 10)\)
A = \( n \times (n + 1) \times 2 \times (n + 5) : 6\)
A = \( n \times (n + 1) \times (n + 5) : 3\)
Thử lại với n = 6: 1 × 4 + 2 × 5 + … + 6 × 9 = 91 + 3 × 21 = 154
Công thức: 6 × 7 × 11 : 3 = 154.
Đáp số: n × (n + 1) × (n + 5) : 3
Bẫy hay gặp
1 × 2 + 2 × 3 + … + 10 × 11: lấy n = 11 (số lớn nhất), được 11 × 12 × 13 : 3 = 572.
n là số thứ nhất của tích cuối: 10 × 11 nên n = 10, tổng 10 × 11 × 12 : 3 = 440. Thử lại với 2 – 3 số hạng đầu để chắc chắn.
Dạng 3. Tính tổng các phân số dạng đặc biệt L5 Nâng cao
Nhận biết
Nhiều bài tổng phân số nhìn dài nhưng thực ra rất ngắn nếu biết cách tách: mẫu số là tích các số cách đều (1 × 2, 2 × 3, …; 1 × 3, 3 × 5, …), hoặc các mẫu số gấp nhau một số lần không đổi.
Phân số có quy luật nhân
- Nếu mẫu số giống nhau, chỉ cần tính quy luật ở tử số. → Cách giải như ví dụ 4 của Dạng 1 ở trên
- Nếu tử số giống nhau, chỉ cần tính quy luật ở mẫu số. → Cách giải như ví dụ 5 của Dạng 1 ở trên
- Nếu cả tử và mẫu cùng có quy luật nhân, có thể nhân cả tổng với cùng một tỉ số rồi trừ → Cách giải như ví dụ 5 của Dạng 1 ở trên
→ Đây là một trường hợp dãy số quy luật nhân của Dạng 1 ở trên, cách giải tổng quát là nhân cả tổng với công bội q, sau đó lấy hiệu để triệt tiêu và tính kết quả
Phân số có quy luật khác (tách thành hiệu)
Công thức tách cần nhớ (vì sao: Hình 5, bài Lý thuyết trọng tâm):
- \(\frac{1}{k \times (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}\)
- \(\frac{m}{b \times (b + m)} = \frac{1}{b} - \frac{1}{b + m}\)
- \(\frac{2 \times m}{b \times (b + m) \times (b + 2 \times m)} = \frac{1}{b \times (b + m)} - \frac{1}{ (b + m) \times (b + 2 \times m)}\)
Dạng rất thường gặp:
- \(\frac{1}{1 \times 2}+ \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ...\) → \(\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ...\)
- \(\frac{3}{4 \times 7} + \frac{3}{7 \times 10} + \frac{3}{10 \times 13} + ...\) → \(\frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{13} + ...\)
- \(\frac{4}{1 \times 3 \times 5} + \frac{4}{3 \times 5 \times 7} + ...\) → \(\frac{1}{1 \times 3} - \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{3 \times 5} - \frac{1}{5 \times 7} + ...\)
→ Mục tiêu là viết mỗi phân số thành hiệu của hai phân số đơn giản hơn để khi cộng lại sẽ triệt tiêu dần.
Không phải bài toán nào ta cũng phát hiện được ngay quy luật mà phải qua một số phép biến đổi dựa trên tính chất cơ bản của phân số, như nhân cả tử và mẫu với cùng một số để tìm quy luật của mẫu, hoặc nhân cả tổng với một số để tử số đúng bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu.
Ví dụ 1
Tính \( A = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ... + \frac{1}{2026 \times 2027}\)
Lời giải:
Hướng giải: ta thấy phân số có dạng \(\frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1\times (1 + 1)}\) → ta áp dụng công thức \(\frac{1}{k \times (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}\) (Hình 6, bài Lý thuyết trọng tâm)
\( A = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ... + \frac{1}{2026 \times 2027}\)
\( = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2026} - \frac{1}{2027}\)
\( = \frac{1}{1} - \frac{1}{2027}\)
\( = \frac{2026}{2027}\)
Thử lại với tổng ngắn: \(\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3} = 1 - \frac{1}{3}\).
Đáp số: \(\frac{2026}{2027}\)
Ví dụ 2
Tính \(A =\frac{2}{1 \times 3} + \frac{2}{3 \times 5} +\frac{2}{5 \times 7} + ... + \frac{2}{997 \times 999}\)
Lời giải:
Hướng giải: ta thấy phân số có dạng \(\frac{2}{1 \times 3} = \frac{2}{1\times (1 + 2)}\)
Tử 2 đúng bằng hiệu 3 − 1 → ta áp dụng công thức \(\frac{m}{b \times (b + m)} = \frac{1}{b} - \frac{1}{b + m}\)
\(A =\frac{2}{1 \times 3} + \frac{2}{3 \times 5} +\frac{2}{5 \times 7} + ... + \frac{2}{997 \times 999}\)
\( = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{997} - \frac{1}{999}\)
\( = \frac{1}{1} - \frac{1}{999}\)
\( = \frac{998}{999}\)
Thử lại với tổng ngắn: \(\frac{2}{1 \times 3} + \frac{2}{3 \times 5} = \frac{10}{15} + \frac{2}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 1 - \frac{1}{5}\).
Đáp số: \(\frac{998}{999}\)
Ví dụ 3
Tính \(A =\frac{7}{1 \times 4 \times 7 } + \frac{7}{4 \times 7 \times 10} +\frac{7}{7 \times 10 \times 13} + ... + \frac{7}{1000 \times 1003 \times 1006}\)
Lời giải:
Hướng giải: ta thấy mẫu số là tích của 3 số có khoảng cách m = 3 → cần biến đổi để sử dụng công thức \(\frac{2 \times m}{b \times (b + m) \times (b + 2 \times m)} = \frac{1}{b \times (b + m)} - \frac{1}{ (b + m) \times (b + 2 \times m)}\)
Mặt khác, tử số đang là 7, mà 2 × m = 2 × 3 = 6 nên ta cần biến đổi để tử số sẽ là 6 bằng cách nhân A với \(\frac{6}{7}\) (Hình 9).
\(A =\frac{7}{1 \times 4 \times 7 } + \frac{7}{4 \times 7 \times 10} +\frac{7}{7 \times 10 \times 13} + ... + \frac{7}{1000 \times 1003 \times 1006}\)
\(A \times \frac{6}{7} =\frac{6}{1 \times 4 \times 7 } + \frac{6}{4 \times 7 \times 10} +\frac{6}{7 \times 10 \times 13} + ... + \frac{6}{1000 \times 1003 \times 1006}\)
\(A \times \frac{6}{7} =\frac{1}{1 \times 4} - \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{4 \times 7} - \frac{1}{7 \times 10} +\frac{1}{7 \times 10} - \frac{1}{10 \times 13} + ... \)
\(... + \frac{1}{1000 \times 1003} - \frac{1}{1003 \times 1006} \)
\(A \times \frac{6}{7} =\frac{1}{1 \times 4 } - \frac{1}{1003 \times 1006} = \frac{1}{4} - \frac{1}{1009018}\)
\(A \times \frac{6}{7} = \frac{1009018 - 4}{4036072} = \frac{1009014}{4036072} = \frac{504507}{2018036}\)
\(A = \frac{504507}{2018036} \times \frac{7}{6} = \frac{3531549}{12108216} = \frac{1177183}{4036072}\) (rút gọn cho 3)
Kiểm tra lại phép nhân ngược: \(\frac{1177183}{4036072} \times \frac{6}{7} = \frac{504507}{2018036}\).
Đáp số: \(\frac{1177183}{4036072}\)
Bẫy hay gặp
\(\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\).
Hai thừa số ở mẫu hơn kém 2 mà tử là 1, nên mỗi phân số chỉ bằng một nửa hiệu: tổng = \((1 - \frac{1}{5}) : 2 = \frac{2}{5}\). Thử lại: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}\).