Dãy Số — Các dạng bài và ví dụ

Lời giải:

a) 1; 2; 3; 5; 8; ...

Từ dãy số trên ta thấy

• 3 = 1 + 2
• 5 = 2 + 3
• 8 = 3 + 5

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó

Áp dụng quy luật này, ta có 3 số hạng tiếp theo sẽ là:

• 5 + 8 = 13
• 8 + 13 = 21
• 13 + 21 = 34

Khi đó dãy mới là: 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34;...

b) 0; 2; 4; 6; 12; 22; ...

Từ dãy số trên ta thấy

• 6 = 0 + 2 + 4
• 12 = 2 + 4 + 6
• 22 = 4 + 6 + 12

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó

Áp dụng quy luật này, ta có 3 số hạng tiếp theo sẽ là:

• 6 + 12 + 22 = 40
• 12 + 22 + 40 = 74
• 22 + 40 + 74 = 136

Khi đó dãy mới sẽ là: 0; 2; 4; 6; 12; 22; 40; 74; 136;...

c) 2; 7; 13; 20; ...

Từ dãy số trên ta thấy (hiệu hai số liền nhau là 5, 6, 7, tăng dần 1):

• 7 = 2 + 2 + 3
• 13 = 7 + 3 + 3
• 20 = 13 + 4 + 3

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước cộng với chỉ số thứ tự của số hạng đó rồi cộng với 3.

Áp dụng quy luật này, ta có 3 số hạng tiếp theo sẽ là:

• 20 + 5 + 3 = 28
• 28 + 6 + 3 = 37
• 37 + 7 + 3 = 47

Khi đó dãy mới sẽ là: 2; 7; 13; 20; 28; 37; 47; ...

d) 1; 2; 6; 24; ...

Dãy số có số sau tăng nhanh → quy luật liên quan tới phép nhân

Từ dãy số trên ta thấy:

• 2 = 1 × 2
• 6 = 2 × 3
• 24 = 6 × 4

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nhân với chỉ số thứ tự của số hạng đó

Áp dụng quy luật này, ta có 3 số hạng tiếp theo sẽ là:

• 24 × 5 = 120
• 120 × 6 = 720
• 720 × 7 = 5040

Khi đó dãy mới sẽ là: 1; 2; 6; 24; 120; 720; 5040 ...

e) 1; 2; 2; 4; 8; ...

Từ dãy số trên ta thấy:

• 2 = 1 × 2
• 4 = 2 × 2
• 8 = 2 × 4

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số thứ ba) bằng tích của hai số hạng đứng liền trước nó

Áp dụng quy luật này, ta có 3 số hạng tiếp theo sẽ là:

• 4 × 8 = 32
• 8 × 32 = 256
• 32 × 256 = 8192

Khi đó dãy mới sẽ là: 1; 2; 2; 4; 8; 32; 256; 8192; ...

f) 2; 6; 12; ...

Từ dãy số trên ta thấy:

• 2 = 1 × 2
• 6 = 2 × 3
• 12 = 3 × 4

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng tích của số chỉ thứ tự số hạng đó với số liền sau của số thứ tự đó.

Áp dụng quy luật này, ta có 3 số hạng tiếp theo sẽ là:

• 4 × 5 = 20
• 5 × 6 = 30
• 6 × 7 = 42

Khi đó dãy mới sẽ là: 2; 6; 12; 20; 30; 42; ...

Kiểm tra lại: với mỗi câu, quy luật tìm được phải đúng với mọi số đã cho trong đề, không chỉ hai số đầu.

Đáp số: a) 13; 21; 34
b) 40; 74; 136
c) 28; 37; 47
d) 120; 720; 5040 · e) 32; 256; 8192 · f) 20; 30; 42

Lời giải:

a) ...; 24; 27; 30

Dãy có 10 số hạng nên 24; 27; 30 là các số hạng thứ 8, 9, 10.

Từ dãy số trên ta thấy:

• 24 = 8 × 3
• 27 = 9 × 3
• 30 = 10 × 3

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng số chỉ thứ tự của nó nhân với 3

Áp dụng quy luật này ta có số hạng đầu tiên của dãy số là: 1 × 3 = 3.

b) ...; 47; 52; 57

Từ dãy số trên ta thấy:

• 47 = 8 × 5 + 7
• 52 = 9 × 5 + 7
• 57 = 10 × 5 + 7

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng số chỉ thứ tự của nó nhân với 5 rồi cộng với 7

Áp dụng quy luật này ta có số hạng đầu tiên của dãy số là: 1 × 5 + 7 = 12

Kiểm tra lại (lùi từ số cuối): câu a, từ số thứ 10 về số thứ 1 lùi 9 bước, mỗi bước 3: 30 − 3 × 9 = 3.

Câu b, mỗi bước 5: 57 − 5 × 9 = 12.

Đáp số: a) 3
b) 12

Lời giải:

Từ dãy số trên ta thấy:

• 4 = 1 + 3 × (2 − 1)
• 7 = 1 + 3 × (3 − 1)
• 10 = 1 + 3 × (4 − 1)

Vậy quy luật của dãy số trên là: số hạng thứ n bằng số hạng thứ nhất cộng với 3 × (n − 1), vì từ số thứ nhất đến số thứ n phải đi n − 1 bước, mỗi bước thêm 3.

Áp dụng quy luật trên, ta có số hạng thứ 50 của dãy số là: 1 + 3 × (50 − 1) = 1 + 147 = 148.

Kiểm tra lại với số nhỏ: số hạng thứ 4 là 1 + 3 × 3 = 10, đúng với dãy.

Đáp số: 148.

Lời giải:

Ta đánh số các ô theo thứ tự như sau:

Theo đề bài ta có (Hình 8):

• C6 + C7 + C8 = 2026 và C7 + C8 + C9 = 2026. Hai tổng bằng nhau và có chung C7, C8, nên phần còn lại cũng bằng nhau: C9 = C6 = 496.
• C7 + C8 + C9 = 2026 và C8 + C9 + C10 = 2026, chung C8, C9, nên C7 = C10 = 996.
• C7 + C8 + C9 = 2026 → C8 = 2026 − C7 − C9 = 2026 − 996 − 496 = 534.

Cứ cách 3 ô thì số lặp lại, nên ta có:

• C1 = C4 = C7 = 996
• C2 = C5 = C8 = 534
• C3 = C6 = C9 = 496

Ta có bảng điền đầy đủ như sau:

Kiểm tra lại: 996 + 534 + 496 = 2026

Ba ô liền nhau nào cũng gồm đúng ba số 996, 534, 496.

Đáp số: 996; 534; 496; 996; 534; 496; 996; 534; 496; 996

Lời giải:

a) 90; 95; 100; ...

Cả hai số 50 và 133 đều không thuộc dãy số đã cho, vì:

• Các số hạng của dãy số đã cho đều lớn hơn 50
• Các số hạng của dãy số đã cho đều chia hết cho 5, mà 133 không chia hết cho 5

b) 2; 5; 8; 11;...

Quy luật của dãy trên là kể từ số hạng thứ 2, số sau bằng số trước cộng 3 → số đầu là 2 nên mọi số hạng chia cho 3 đều dư 2.

Số 2026 : 3 = 675 dư 1, không thỏa mãn quy luật trên.

Vậy số 2026 không thuộc dãy số đã cho.

c) 3; 6; 12; 24; ...

Quy luật của dãy trên là: từ số hạng thứ 2, số hạng sau bằng số hạng trước × 2.

Viết tiếp dãy: 3; 6; 12; 24; 48; 96; 192; 384; 768; 1536; 3072; 6144; 12288; …

• 666 nằm giữa hai số hạng liền nhau 384 và 768 nên không thuộc dãy (chú ý: 666 là số chẵn và chia hết cho 3, nhưng như vậy chưa đủ để thuộc dãy)
• 1000 → không chia hết cho 3, trong khi mọi số hạng đều chia hết cho 3, nên không thuộc dãy
• 9999 → là số lẻ, trong khi mọi số hạng từ số thứ hai đều chẵn và 9999 khác 3, nên không thuộc dãy (9999 cũng nằm giữa 6144 và 12288)

Vậy cả ba số: 666

1000 và 9999 đều không thuộc dãy số trên.

Đáp số: a) Không
b) Không
c) Không có số nào thuộc dãy

Lời giải:

Ta xét riêng chữ số 0 và các chữ số 1; 2; ...; 9

Xét dãy: 00; 01; 02; ...; 98; 99 (cho phép số 0 ở mọi vị trí), ta có tất cả 100 số

Ở hàng đơn vị:

Các chữ số thay đổi theo thứ tự: 0; 1; 2; ...; 8; 9 rồi lại lặp lại

Ví dụ:

• 00 đến 09: hàng đơn vị là 0; 1; 2; ...; 8; 9
• 90 đến 99: hàng đơn vị là 0; 1; 2; ...; 8; 9

Cứ 10 số thì mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện 1 lần ở hàng đơn vị.

Vì có 10 nhóm như vậy, nên ở hàng đơn vị, mỗi chữ số xuất hiện: 10 × 1 = 10 (lần)

Ở hàng chục:

• 00 đến 09: hàng chục là 0
• 10 đến 19: hàng chục là 1
• ...
• 90 đến 99: hàng chục là 9

Mỗi nhóm có 10 số, nên mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện 10 lần ở hàng chục

Vậy trong dãy từ 00 đến 99 (xem Hình 5, bài Lý thuyết trọng tâm):

• mỗi chữ số xuất hiện 10 lần ở hàng đơn vị
• mỗi chữ số xuất hiện 10 lần ở hàng chục

Do đó, mỗi chữ số từ 1 đến 9 xuất hiện tổng cộng: 10 + 10 = 20 (lần) (các số 01 → 09 chỉ thêm chữ số 0 ở đầu, không làm đổi số lần của các chữ số 1 → 9).

Với chữ số 0: khi viết thật từ 1 đến 99 thì không có số 0 đứng đầu.

• Ở hàng đơn vị: chữ số 0 xuất hiện trong các số 10; 20; ...; 80; 90 nên có 9 lần
• Ở hàng chục: không có chữ số 0

Vậy chữ số 0 xuất hiện 9 lần

Kiểm tra lại bằng tổng số chữ số: từ 1 đến 99 viết 9 × 1 + 90 × 2 = 189 chữ số

9 + 20 × 9 = 189.

Đáp số: Chữ số 0 xuất hiện 9 lần; mỗi chữ số từ 1 đến 9 xuất hiện 20 lần.

Lời giải:

Ta xét dãy số từ 000 đến 999 (cho phép số 0 ở vị trí nào cũng được), ta có 1000 số

Bây giờ ta xét từng hàng

Ở hàng đơn vị:

Các chữ số ở hàng đơn vị thay đổi theo thứ tự: 0; 1; 2; ...; 8; 9 rồi lại lặp lại

Ví dụ:

• 000 đến 009: hàng đơn vị là 0; 1; 2;...; 8; 9
• 010 đến 019: hàng đơn vị là 0; 1; 2;...; 8; 9

Cứ 10 số thì mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện 1 lần ở hàng đơn vị

Mà từ 000 đến 999 có: 1000 : 10 = 100 nhóm như vậy

Vì thế, ở hàng đơn vị, mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều xuất hiện 100 lần.

Ở hàng chục:

Trong mỗi nhóm 10 số liên tiếp, hàng chục giữ nguyên

Ví dụ:

000 đến 009: hàng chục đều là 0

010 đến 019: hàng chục đều là 1

020 đến 029: hàng chục đều là 2

...

090 đến 099: hàng chục đều là 9

Như vậy trong dãy từ 000 đến 099, mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện 10 lần ở hàng chục

Từ 000 đến 999 có 10 nhóm 100 số như vậy:

• 000 đến 099
• 100 đến 199
• 200 đến 299
• ...
• 900 đến 999

Vì trong mỗi nhóm 100 số, mỗi chữ số xuất hiện 10 lần ở hàng chục, nên cả dãy từ 000 đến 999, mỗi chữ số xuất hiện: 10 × 10 = 100 (lần) ở hàng chục

Ở hàng trăm:

Ta chia dãy thành 10 nhóm:

• 000 đến 099: hàng trăm là 0
• 100 đến 199: hàng trăm là 1
• 200 đến 299: hàng trăm là 2
• .....
• 900 đến 999: hàng trăm là 9

Mỗi nhóm có đúng 100 số, vì thế mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện đúng 100 lần ở hàng trăm

Vậy:

• Ở hàng đơn vị: mỗi chữ số xuất hiện 100 lần
• Ở hàng chục: mỗi chữ số xuất hiện 100 lần
• Ở hàng trăm: mỗi chữ số xuất hiện 100 lần

Do đó, trong dãy từ 000 đến 999, mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện: 100 + 100 + 100 = 300 (lần)

Bây giờ xét chữ số 0 (khi viết thật, không có số 0 đứng đầu):

Từ 1 đến 99, chữ số 0 xuất hiện 9 lần

Trong mỗi nhóm 100 số: 100 đến 199, 200 đến 299,...900 đến 999:

• Chữ số 0 xuất hiện 10 lần ở hàng chục
• Chữ số 0 xuất hiện 10 lần ở hàng đơn vị

Vậy mỗi nhóm có: 10 + 10 = 20 chữ số 0

Có 9 nhóm nên từ 100 đến 999 có: 20 × 9 = 180 chữ số 0

Vậy tổng cộng có: 9 + 180 = 189 (chữ số 0)

Kiểm tra lại bằng tổng số chữ số: từ 1 đến 999 viết 9 + 180 + 2700 = 2889 chữ số

189 + 300 × 9 = 2889.

Đáp số: Chữ số 0 xuất hiện 189 lần; mỗi chữ số từ 1 đến 9 xuất hiện 300 lần.

Lời giải:

a) 11; 14; 17; 20; ...; 68

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là 3, số đầu là 11 và số cuối là 68

Ta có, số số hạng của dãy số trên là: (68 − 11) : 3 + 1 = 20 (số hạng)

b) Áp dụng công thức tính số hạng thứ n của dãy số cách đều: số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách × (n − 1), ta có:

Số hạng thứ 2026 của dãy số trên là: 11 + 3 × (2026 − 1) = 6086

Kiểm tra lại: câu a, số hạng thứ 20 phải là 11 + 3 × 19 = 68, đúng số cuối của dãy.

Đáp số: a) 20 số hạng
b) 6086

Lời giải:

a) Số chẵn chia hết cho 9 là số chia hết cho cả 2 và 9, tức chia hết cho 18.

Các số chẵn có 3 chữ số chia hết cho 9 là: 108; 126; 144; ...; 972; 990

Các số trên lập thành dãy số cách đều với khoảng cách là 18, số đầu là 108 và số cuối là 990

Vậy số các số chẵn có ba chữ số chia hết cho 9 là: (990 − 108) : 18 + 1 = 50 (số)

b) Các số có ba chữ số chia 4 dư 1 là: 101; 105; 109; ...; 993; 997

Các số trên lập thành dãy số cách đều với khoảng cách là 4, số đầu là 101 và số cuối là 997

Vậy số các số có ba chữ số chia 4 dư 1 là: (997 − 101) : 4 + 1 = 225 (số)

Kiểm tra lại bằng phép chia: từ 1 đến 999 có 999 : 18 = 55 (dư 9) số chia hết cho 18, từ 1 đến 99 có 99 : 18 = 5 (dư 9) số

55 − 5 = 50.

Đáp số: a) 50 số
b) 225 số

Lời giải:

Viết các số tự nhiên từ 1 đến 2026 ta được dãy số cách đều như sau: 1; 2; 3; ...; 2024; 2025; 2026.

Ta chia thành nhóm theo số chữ số (Hình 10):

Dãy các số hạng có 1 chữ số là: 1; 2; 3; ...; 7; 8; 9

• Dãy này có: (9 − 1) + 1 = 9 (số hạng)
• Số chữ số của dãy này là: 9 × 1 = 9 (chữ số)

Dãy các số hạng có 2 chữ số là: 10; 11; 12; ...; 97; 98; 99

• Dãy này có: (99 − 10) + 1 = 90 (số hạng)
• Số chữ số của dãy này là: 90 × 2 = 180 (chữ số)

Dãy các số hạng có 3 chữ số là: 100; 101; 102; ...; 997; 998; 999

• Dãy này có: (999 − 100) + 1 = 900 (số hạng)
• Số chữ số của dãy này là: 900 × 3 = 2700 (chữ số)

Dãy các số hạng có 4 chữ số là: 1000; 1001; 1002; ...; 2024; 2025; 2026

• Dãy này có: (2026 − 1000) + 1 = 1027 (số hạng)
• Số chữ số của dãy này là: 1027 × 4 = 4108 (chữ số)

Số chữ số đã viết là: 9 + 180 + 2700 + 4108 = 6997 (chữ số)

Vậy người đó đã viết 6997 lượt chữ số

Kiểm tra lại số lượng số: 9 + 90 + 900 + 1027 = 2026 số, đúng từ 1 đến 2026.

Đáp số: 6997

Lời giải:

Cách 1:

Xét dãy số: 0; 1; 2; ...; 1997; 1998; 1999 ta có:

Ta ghép các số cách đều số đầu và số cuối thành từng cặp (Hình 6, bài Lý thuyết trọng tâm)

• 0 và 1999 có tổng các chữ số là: 0 + 1 + 9 + 9 + 9 = 28
• 1 và 1998 có tổng các chữ số là: 1 + 1 + 9 + 9 + 8 = 28
• 2 và 1997 có tổng các chữ số là: 2 + 1 + 9 + 9 + 7 = 28
• ...
• 998 và 1001 có tổng các chữ số là: 9 + 9 + 8 + 1 + 0 + 0 + 1 = 28
• 999 và 1000 có tổng các chữ số là: 9 + 9 + 9 + 1 + 0 + 0 + 0 = 28

Như vậy, mỗi cặp đều có tổng các chữ số bằng 28

Số cặp là: (999 − 0) + 1 = 1000 (cặp)

Vậy tổng các chữ số của dãy từ 0 đến 1999 là: 28 × 1000 = 28000

Xét tiếp dãy số: 2000; 2001; 2002; ....; 2024; 2025; 2026

Dãy này có: (2026 − 2000) + 1 = 27 (số)

Mỗi số đều có chữ số hàng nghìn là 2 và chữ số hàng trăm là 0, nên tổng các chữ số ở hai hàng này là: 27 × (2 + 0) = 54

Ta còn phải tính tổng các chữ số của hai hàng chục và hàng đơn vị, tức là tổng các chữ số của dãy: 00; 01; 02; ...; 24; 25; 26

• Từ 00 đến 09 có tổng các chữ số là: (9 + 1) × 9 : 2 = 45
• Từ 10 đến 19 có tổng các chữ số là: 10 × 1 + 45 = 55 (10 chữ số 1 ở hàng chục và hàng đơn vị từ 0 đến 9)
• Từ 20 đến 26, tổng các chữ số là: (2 + 0) + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) + (2 + 4) + (2 + 5) + (2 + 6) = 35.

Vậy tổng các chữ số của dãy từ 2000 đến 2026 là: 54 + 45 + 55 + 35 = 189

Do đó, tổng tất cả các chữ số của số tự nhiên đã cho là: 28000 + 189 = 28189

Cách 2:

Ta tính số lần xuất hiện của từng chữ số trong dãy số từ 1 đến 1999

Xét dãy số từ 000 đến 999

Ta coi mỗi số có đủ 3 chữ số.

• Ở hàng đơn vị, chữ số 1 xuất hiện 100 lần
• Ở hàng chục, chữ số 1 xuất hiện 100 lần
• Ở hàng trăm, chữ số 1 xuất hiện 100 lần

Vậy trong dãy từ 000 đến 999, chữ số 1 xuất hiện: 100 + 100 + 100 = 300 (lần)

Tương tự, với mỗi chữ số 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 trong dãy từ 1 đến 999 đều xuất hiện: 300 (lần)

Xét dãy số từ 1000 đến 1999

• Có 1000 chữ số 1 ở hàng nghìn
• Ba hàng còn lại chạy từ 000 đến 999 nên mỗi chữ số từ 1 đến 9 sẽ xuất hiện thêm 300 lần.

Vậy từ 1000 đến 1999 có: 1000 + 300 = 1300 (chữ số 1)

Mỗi chữ số từ 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 đều xuất hiện: 300 (lần)

Do đó, từ 1 đến 1999:

• Chữ số 1 có: 300 + 1300 = 1600 (chữ số 1)
• Mỗi chữ số từ 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 đều xuất hiện: 300 + 300 = 600 (lần)

Vậy tổng các chữ số của dãy từ 1 đến 1999 là: 1 × 1600 + (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) × 600 = 1600 + 44 × 600 = 28000

Phần còn lại là dãy từ 2000 đến 2026

Theo cách tính ở cách 1, tổng chữ số của dãy này là: 189

Vậy tổng tất cả các chữ số của số tự nhiên đã cho là: 28000 + 189 = 28189.

Cách 3:

Ta chia dãy từ 1 đến 1999 thành hai nhóm

• Nhóm 1: từ 000 đến 999
• Nhóm 2: từ 1000 đến 1999

Xét nhóm 1: từ 000 đến 999

Trong dãy này, ở mỗi hàng (đơn vị, chục, trăm), các chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện đều nhau, mỗi chữ số xuất hiện 100 lần.

Tổng các chữ số ở mỗi hàng là: (0 + 1 + 2 + ... + 8 + 9) × 100 = 45 × 100 = 4500

Vì có 3 hàng nên tổng các chữ số của nhóm 1 là: 4500 × 3 = 13500

Xét nhóm 2: từ 1000 đến 1999

• Hàng nghìn có 1000 chữ số 1, nên tổng là: 1000
• Ba hàng còn lại chạy từ 000 đến 999, nên tổng các chữ số là: 13500

Vậy tổng các chữ số của nhóm 2 là: 1000 + 13500 = 14500

Do đó, tổng các chữ số của dãy từ 1 đến 1999 là: 13500 + 14500 = 28000

Phần còn lại là dãy từ 2000 đến 2026

Theo cách tính ở cách 1, tổng chữ số của dãy này là: 189

Vậy tổng tất cả các chữ số của số tự nhiên đã cho là: 28000 + 189 = 28189.

Kiểm tra lại: ba cách cho cùng kết quả 28000 cho phần từ 1 đến 1999.

Đáp số: 28189

Lời giải:

Từ dãy trên ta thấy:

• 27 = 9 × 3
• 81 = 27 × 3
• 243 = 81 × 3

Quy luật của dãy số trên là: các số hạng (từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước nhân với 3

→ Đây là dãy số nhân với công bội bằng 3

Cách 1:

Đặt S = 9 + 27 + 81 + 243 + 729, ta có:

S × 3 = (9 + 27 + 81 + 243 + 729) × 3 = 27 + 81 + 243 + 729 + 2187

Do đó (Hình 7, bài Lý thuyết trọng tâm):

S × 3 − S = (27 + 81 + 243 + 729 + 2187) − (9 + 27 + 81 + 243 + 729) = 2187 − 9 = 2178

Mà S × 3 − S = S × 3 − S × 1 = S × (3 − 1) = S × 2, suy ra S × 2 = 2178

S = 2178 : 2 = 1089.

Nhận xét: từ ví dụ trên, ta thấy S = (729 × 3 − 9) : (3 − 1), tức là (Số cuối × Công bội − Số đầu) : (Công bội − 1).

Đó chính là công thức ở trên: công thức không phải học thuộc, mà rút ra từ cách nhân rồi trừ.

Cách 2: Sử dụng công thức tính tổng của dãy số nhân Tổng = (Số cuối × Công bội – Số đầu) : (Công bội – 1)

Dãy số trên là dãy số nhân với công bội bằng 3, nên ta có:

Tổng các số hạng của dãy trên là: (729 × 3 − 9) : (3 − 1) = 1089

Thử lại bằng cách cộng thẳng: 9 + 27 = 36

36 + 81 = 117

117 + 243 = 360

360 + 729 = 1089.

Đáp số: 1089

Lời giải:

Các số lẻ 1; 3; 5; … là dãy cách đều, khoảng cách 2.

Số 2023 là số hạng thứ: (2023 − 1) : 2 + 1 = 1012.

Mỗi hàng của bảng có 4 số.

Ta có 1012 : 4 = 253 (dư 0).

Số dư bằng 0 nên 1012 số đầu tiên xếp vừa hết 253 hàng.

Vậy 2023 là số thứ tư (số cuối cùng được viết) của hàng 253.

253 là số lẻ nên hàng 253 viết từ trái sang phải: số thứ tư nằm ở cột D (Hình 12).

Thử lại với một số nhỏ: 31 là số lẻ thứ (31 − 1) : 2 + 1 = 16, mà 16 : 4 = 4 (dư 0) nên 31 là số thứ tư của hàng Bốn.

Hàng Bốn là hàng chẵn, viết từ phải sang trái, nên số thứ tư ở cột A.

Đúng với bảng.

Đáp số: hàng 253, cột D

Lời giải:

Các hạt tròn đi thành từng cặp. 18 hạt tròn chia được 18 : 2 = 9 cặp.

Hạt tròn thứ 18 là hạt cuối cùng của cặp thứ 9, và chuỗi dừng ở đó.

Vậy sau cặp thứ 9 không còn hạt vuông nào.

Mỗi hạt vuông nằm giữa hai cặp hạt tròn liền nhau. 9 cặp có 9 − 1 = 8 chỗ ở giữa, nên có 8 hạt vuông.

Thử lại với chuỗi ngắn có 4 hạt tròn: tròn, tròn, vuông, tròn, tròn.

Có 2 cặp và 2 − 1 = 1 hạt vuông.

Đúng.

Đáp số: 8 hạt vuông

Lời giải:

a) Hộp thứ hai nhiều hơn hộp thứ nhất: 7 − 1 = 6 (lon).

Hộp thứ ba nhiều hơn hộp thứ hai: 19 − 7 = 12 (lon).

Nhìn hình: mỗi hộp bọc thêm một vòng lon quanh hộp trước.

Vòng thứ nhất có 6 lon, vòng thứ hai có 6 × 2 = 12 lon, vòng sau nhiều hơn vòng trước 6 lon (Hình 15).

Hộp thứ tư có: 19 + 6 × 3 = 37 (lon).

Hộp thứ năm có: 37 + 6 × 4 = 61 (lon).

b) Hộp thứ mười gồm 1 lon ở giữa và 9 vòng.

Số lon của 9 vòng là: 6 × 1 + 6 × 2 + … + 6 × 9 = 6 × (1 + 2 + … + 9) = 6 × 45 = 270 (lon).

Hộp thứ mười có: 1 + 270 = 271 (lon).

Thử lại bằng cách đếm trên Hình 14: hộp thứ tư có 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 = 37 lon.

Đúng.

Đáp số: a) 61 lon
b) 271 lon

Lời giải:

Các số vào 2; 3; 5; 7; 11 không cách đều, nên ta so từng số ra với số vào của nó.

Thử "nhân với chính nó": 2 × 2 = 4, còn số ra là 5, hơn 1.

Thử tiếp: 3 × 3 = 9, số ra 10, cũng hơn 1.

Kiểm hai cặp còn lại: 5 × 5 + 1 = 26, đúng

7 × 7 + 1 = 50, đúng.

Quy luật: số ra = số vào × số vào + 1.

Với số vào 11: 11 × 11 + 1 = 122.

Đáp số: 122