TDNTestTrước khi bắt đầu
Bài này giúp em hiểu chia hết và chia có dư thật sự là gì, vì sao các dấu hiệu chia hết đúng, và cách dùng số dư để giải nhanh. Hiểu được điều đó, em không cần học vẹt từng dấu hiệu mà vẫn tự suy ra được. Đọc xong, em hãy sang bài Các dạng bài và ví dụ để luyện từng dạng.
Học xong, em làm được 5 việc:
- Biết một số có chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11… hay không mà không cần đặt tính chia.
- Tìm chữ số còn thiếu để một số chia hết cho một số cho trước.
- Lập số, đếm số thỏa mãn điều kiện chia hết.
- Dùng tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích và mẹo số dư để giải nhanh.
- Chuyển bài toán có lời văn sang ngôn ngữ chia hết, chia có dư.
Nhãn: L4 kiến thức lớp 4; L5 kiến thức lớp 5; Nâng cao kiến thức luyện thi vào lớp 6 chất lượng cao, lớp chuyên (sách giáo khoa hiện hành dạy dấu hiệu chia hết ở lớp 6).
Nhắc lại kiến thức cần dùng
1. Phép chia L4
Trong phép chia 23 : 4 = 5 (dư 3): 23 là số bị chia, 4 là số chia, 5 là thương, 3 là số dư. Luôn có:
\(23 = 4 \times 5 + 3\)
số bị chia = số chia × thương + số dư
2. Cấu tạo số theo hàng L4
Mỗi chữ số có giá trị theo hàng của nó: \(\overline{abc} = a \times 100 + b \times 10 + c\). Ví dụ 126 = 1 × 100 + 2 × 10 + 6. Phần này em đã học ở bài Số - Chữ Số.
1Chia hết và chia có dư L4
Chia một số đồ vật thành các nhóm bằng nhau. Nếu chia xong không thừa cái nào, đó là phép chia hết. Nếu còn thừa, đó là phép chia có dư, phần thừa là số dư.
Chia hết, chia có dư
- Phép chia hết là phép chia có số dư bằng 0. Ta nói "18 chia hết cho 3" và viết gọn \(18 \,\vdots\, 3\) (ba chấm đứng là dấu chia hết).
- Phép chia có dư: 18 : 5 = 3 (dư 3). Ta nói "18 không chia hết cho 5".
- Số dư luôn nhỏ hơn số chia.
- Số 0 chia hết cho mọi số khác 0 (0 : 7 = 0).
Vì sao số dư luôn nhỏ hơn số chia?
Nhìn Hình 2: nếu số chấm thừa từ 5 trở lên thì ta khoanh thêm được một nhóm 5 chấm nữa. Vậy khi đã chia xong, số chấm thừa chỉ có thể là 0, 1, 2, 3 hoặc 4, tức là nhỏ hơn 5.
Hệ quả: chia cho 5 thì chỉ có 5 số dư có thể xảy ra là 0, 1, 2, 3, 4. Chia cho 2 thì chỉ có dư 0 (số chẵn) hoặc dư 1 (số lẻ).
18 : 5 = 2 (dư 8).
Dư 8 lớn hơn số chia 5, nên còn chia tiếp được: 18 : 5 = 3 (dư 3). Thử lại: 5 × 3 + 3 = 18.
2Mẹo số dư: biến số khó thành số dễ L5
Đây không chỉ là một mẹo mà là một cách nghĩ: số đang xét chia còn dư thì ta đổi nó thành một số rất gần nó mà chia hết, rồi xét số mới cho dễ.
Mẹo số dư
- a chia cho b dư 1 thì a − 1 chia hết cho b. Ví dụ 22 : 7 dư 1 nên 21 chia hết cho 7.
- a chia cho b dư b − 1 (thiếu 1 là đủ nhóm) thì a + 1 chia hết cho b. Ví dụ 27 : 7 dư 6 nên 28 chia hết cho 7.
- Tổng quát: a chia cho b dư r thì a − r chia hết cho b (bớt đúng số chấm thừa).
Dùng khi nào?
Khi đề cho "chia cho … dư …". Ví dụ "một số chia cho 3, 4, 5, 7 đều dư 1" thì số đó bớt 1 sẽ chia hết cho cả 3, 4, 5, 7: bài chia có dư trở thành bài chia hết.
a chia cho 5 dư 2 nên a + 2 chia hết cho 5.
Phải bớt đúng 2 chấm thừa: a − 2 chia hết cho 5. Hoặc thêm 3 chấm cho đủ nhóm: a + 3 chia hết cho 5. Thử với a = 12: 12 − 2 = 10 và 12 + 3 = 15 đều chia hết cho 5, còn 12 + 2 = 14 thì không. Không được cộng, trừ tùy ý.
3Dấu hiệu chia hết: nhớ theo 4 nhóm Nâng cao
Có nhiều dấu hiệu chia hết, nhưng em không cần nhớ rời rạc. Chúng chia làm 4 nhóm theo cách kiểm tra, và cả 4 nhóm đều dựa trên một ý:
Nguyên lý: tách phần chắc chắn chia hết khỏi phần cần xét
Tách số thành hai phần: một phần chắc chắn chia hết và một phần nhỏ cần xét. Khi đó chỉ cần xét phần nhỏ (theo tính chất chia hết của tổng ở mục 6).
🔎 Bốn nhóm dấu hiệu chia hết
| Nhóm | Số chia | Dấu hiệu | Ví dụ |
|---|---|---|---|
| ① Nhìn chữ số tận cùng | 2 | Chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 | 120; 346; 782 |
| 5 | Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 | 20; 45; 105 | |
| 10 | Chữ số tận cùng là 0 | 30; 120; 1210 | |
| ② Cộng các chữ số | 3 | Tổng các chữ số chia hết cho 3 | 123; 225; 324 |
| 9 | Tổng các chữ số chia hết cho 9 | 27; 126; 243 | |
| ③ Nhìn vài chữ số cuối | 4 | Số tạo bởi hai chữ số cuối chia hết cho 4 | 124; 516; 1032 |
| 25 | Hai chữ số cuối là 00, 25, 50 hoặc 75 | 175; 300; 1250 | |
| 8 | Số tạo bởi ba chữ số cuối chia hết cho 8 | 368; 544; 1024 | |
| ④ Ghép hai dấu hiệu | 6 | Chia hết cho cả 2 và 3 (số chẵn có tổng các chữ số chia hết cho 3) | 24; 114; 252 |
Em không cần học thuộc bảng: hiểu "vì sao" ở dưới thì tự lập lại được. Ngoài 4 nhóm còn một dấu hiệu đặc biệt cho số 11 (mục 4).
Nhóm ① Nhìn chữ số tận cùng (2, 5, 10)
Số nào cũng tách được thành "số chục" × 10 cộng chữ số hàng đơn vị. Ví dụ \(\overline{13a} = 130 + a\), mà 130 = 13 × 10 luôn chia hết cho 2, cho 5, cho 10 (vì 10 chia hết cho 2, 5, 10). Vậy chỉ còn chữ số tận cùng a quyết định.
Nhóm ② Cộng các chữ số (3, 9)
Dấu hiệu chia hết cho 9: hiểu 126 từng bước
- Bước 1
Đọc theo hàng: 126 = 1 × 100 + 2 × 10 + 6.
- Bước 2
Mở ra: 100 = 99 + 1 và 10 = 9 + 1, nên 126 = 1 × (99 + 1) + 2 × (9 + 1) + 6.
- Bước 3
Gom lại: 126 = (1 × 99 + 2 × 9) + (1 + 2 + 6).
Phần đầu bằng 117, chia hết cho 9 vì 99 và 9 đều chia hết cho 9.
Phần sau chính là tổng các chữ số.
- Bước 4
Kết luận và thử lại: chỉ cần xét 1 + 2 + 6 = 9, chia hết cho 9, nên 126 chia hết cho 9.
Thử lại: 126 : 9 = 14.
Vì 99 và 9 cũng chia hết cho 3, cách làm y hệt cho dấu hiệu chia hết cho 3.
Cũng từ đó, một số chia cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu. Ví dụ 7358 có tổng các chữ số 7 + 3 + 5 + 8 = 23, mà 23 chia 3 dư 2, nên 7358 chia 3 dư 2.
123 chia hết cho 3 nên 123 chia hết cho 9.
Tổng các chữ số 1 + 2 + 3 = 6 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9, nên 123 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Ngược lại thì đúng: chia hết cho 9 thì chắc chắn chia hết cho 3 (126 chia hết cho cả hai).
Nhóm ③ Nhìn vài chữ số cuối (4, 25, 8)
Phần "chắc chắn chia hết" lúc này lớn hơn: 100 = 4 × 25 chia hết cho 4 và 25; 1000 = 8 × 125 chia hết cho 8. Nên:
- 524 = 500 + 24. Phần 500 = 5 × 100 chắc chắn chia hết cho 4; chỉ xét 24 chia hết cho 4, vậy 524 chia hết cho 4.
- 7368 = 7000 + 368. Phần 7000 = 7 × 1000 chắc chắn chia hết cho 8; chỉ xét 368 = 8 × 46, vậy 7368 chia hết cho 8.
14 tận cùng là 4 nên 14 chia hết cho 4.
Dấu hiệu chia hết cho 4 xét hai chữ số cuối, không phải chữ số tận cùng: 14 : 4 = 3 (dư 2), 34 : 4 = 8 (dư 2). Chỉ nhóm ① (2, 5, 10) mới nhìn một chữ số tận cùng, vì chỉ 10 mới chia hết cho chúng.
Nhóm ④ Ghép hai dấu hiệu (6)
24: tận cùng 4 là số chẵn nên chia hết cho 2; 2 + 4 = 6 chia hết cho 3 nên chia hết cho 3. Vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6. Các cặp ghép khác xem ở mục 5.
4Dấu hiệu chia hết cho 11 Nâng cao
Dấu hiệu chia hết cho 11
Đếm vị trí các chữ số từ trái sang. Cộng các chữ số ở vị trí lẻ (thứ 1, 3, 5…), cộng các chữ số ở vị trí chẵn (thứ 2, 4, 6…), rồi lấy tổng lớn trừ tổng bé. Nếu hiệu chia hết cho 11 (kể cả bằng 0) thì số đó chia hết cho 11.
- 1364: (1 + 6) − (3 + 4) = 0, chia hết cho 11. Thử lại: 1364 : 11 = 124.
- 1234: vị trí lẻ 1 + 3 = 4, vị trí chẵn 2 + 4 = 6, hiệu 6 − 4 = 2 không chia hết cho 11, nên 1234 không chia hết cho 11.
- Tìm chữ số: tìm a để \(\overline{52a8}\) chia hết cho 11. Vị trí lẻ: 5 + a; vị trí chẵn: 2 + 8 = 10. Với a từ 0 đến 9, chỉ a = 5 làm hai tổng bằng nhau (hiệu 0); các giá trị khác cho hiệu từ 1 đến 5, không chia hết cho 11. Vậy a = 5, số 5258. Thử lại: 5258 : 11 = 478.
Hai tổng phải bằng nhau thì mới chia hết cho 11.
Chỉ cần hiệu chia hết cho 11. Ví dụ 209: vị trí lẻ 2 + 9 = 11, vị trí chẵn 0, hiệu 11 chia hết cho 11, nên 209 chia hết cho 11 (209 : 11 = 19) dù hai tổng khác nhau.
5Ghép điều kiện: tự suy ra dấu hiệu cho số lớn hơn Nâng cao
Muốn biết một số có chia hết cho 6, 12, 15, 45 không, ta tách số chia thành hai số đã có dấu hiệu:
| Chia hết cho | Nghĩa là chia hết cho cả | Ví dụ |
|---|---|---|
| 6 = 2 × 3 | 2 và 3 | 24 |
| 12 = 3 × 4 | 3 và 4 | 3780 (tổng chữ số 18, hai chữ số cuối 80) |
| 15 = 3 × 5 | 3 và 5 | 135 |
| 45 = 5 × 9 | 5 và 9 | 180 (tận cùng 0, tổng chữ số 9) |
12 = 2 × 6, nên số nào chia hết cho 2 và cho 6 thì chia hết cho 12.
6, 18, 30 đều chia hết cho 2 và 6 nhưng không chia hết cho 12. Lý do: 6 đã "chứa sẵn" một thừa số 2, nên điều kiện "chia hết cho 2" không thêm gì mới. Chỉ ghép được hai số không có thừa số chung như 2 và 3, 3 và 4, 3 và 5, 5 và 9.
6Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích Nâng cao
Các tính chất
- Tổng, hiệu: các số hạng đều chia hết cho m thì tổng chia hết cho m. Ví dụ 15 và 12 chia hết cho 3 nên 15 + 12 = 27 chia hết cho 3. Vì sao: 5 nhóm 3 chấm cộng 4 nhóm 3 chấm là 9 nhóm 3 chấm, không thừa chấm nào.
- Chỉ một số hạng không chia hết cho m, các số hạng còn lại đều chia hết, thì tổng không chia hết cho m: phần thừa của số hạng đó vẫn còn nguyên. Ví dụ 48 + 60 + 29 không chia hết cho 2.
- Tích: một số chia hết cho m, một số chia hết cho n thì tích chia hết cho m × n. Ví dụ 8 chia hết cho 2, 9 chia hết cho 3 nên 8 × 9 = 72 chia hết cho 6. Riêng một thừa số chia hết cho m thì cả tích chia hết cho m: 24 × 18 chia hết cho 3 vì 24 chia hết cho 3.
- Số dư của tổng: các số hạng chia cho m có tổng các số dư chia hết cho m thì tổng chia hết cho m (Hình 8).
- Số dư của hiệu: hai số chia cho m có cùng số dư thì hiệu của chúng chia hết cho m. Ví dụ 17 và 9 cùng chia 4 dư 1, nên 17 − 9 = 8 chia hết cho 4.
29 và 31 đều không chia hết cho 2 nên 29 + 31 không chia hết cho 2.
29 + 31 = 60 chia hết cho 2: mỗi số thừa 1 chấm, hai chấm thừa ghép thành một nhóm 2. Quy tắc "tổng không chia hết" chỉ đúng khi chỉ có một số hạng không chia hết.
7Cách giải bài toán chia hết: 5 bước
- Bước 1
Đọc kĩ đề: đề hỏi chia hết, chia có dư, tìm chữ số chưa biết hay lập số? Có điều kiện "các chữ số khác nhau", "lớn nhất", "bé nhất" không?
- Bước 2
Chọn dấu hiệu cần dùng: chữ số tận cùng, vài chữ số cuối, tổng các chữ số, hay ghép điều kiện.
Đề cho "dư" thì dùng mẹo số dư để đổi về chia hết.
- Bước 3
Làm điều kiện mạnh, rõ trước (thường là chữ số tận cùng).
Ví dụ: tìm a để \(\overline{72a5}\) chia hết cho 30.
Chia hết cho 30 thì phải chia hết cho 10, tức tận cùng là 0.
Nhưng số đã tận cùng 5, nên không có chữ số a nào thỏa mãn
Kết luận ngay, không cần thử.
- Bước 4
Còn vài khả năng thì thử chọn hoặc lập bảng để không bỏ sót.
- Bước 5
Kiểm tra lại mọi điều kiện của đề với số tìm được (thử chia lại).
🔗 Liên hệ
Chữ số tận cùng em đã gặp ở bài Số - Chữ Số. Các bài "xếp hàng 10, hàng 12 đều dư 8" hay "số học sinh chia đều" sẽ gặp lại ở nhiều chủ đề sau. Dạng tìm chữ số để chia hết là dạng rất hay ra trong đề thi vào lớp 6 các trường chất lượng cao.
Tổng kết
Cần nhớ
- Chia hết là chia có số dư bằng 0; số dư luôn nhỏ hơn số chia.
- Chia cho b dư r thì bớt r là chia hết; dư b − 1 thì thêm 1 là chia hết.
- Dấu hiệu chia hết nhớ theo 4 nhóm: tận cùng (2, 5, 10), tổng chữ số (3, 9), vài chữ số cuối (4, 25, 8), ghép (6, 12, 15, 45); riêng 11 có dấu hiệu đặc biệt.
- Mọi dấu hiệu đều từ một ý: tách phần chắc chắn chia hết khỏi phần cần xét.
- Chỉ ghép được hai số không có thừa số chung; "tổng không chia hết" chỉ đúng khi chỉ một số hạng không chia hết.
- Gặp nhiều điều kiện: làm điều kiện mạnh nhất trước, cuối cùng thử lại.
Thử sức (tự làm rồi bấm vào câu hỏi để xem đáp án)
Số 528 có chia hết cho 11 không?
Vị trí lẻ: 5 + 8 = 13; vị trí chẵn: 2. Hiệu 13 − 2 = 11 chia hết cho 11, nên 528 chia hết cho 11. Thử lại: 528 : 11 = 48.
Tìm chữ số a để \(\overline{7a35}\) chia hết cho 15.
Chia hết cho 15 là chia hết cho 3 và 5. Số tận cùng 5 nên đã chia hết cho 5. Tổng các chữ số 7 + a + 3 + 5 = 15 + a chia hết cho 3, mà 15 chia hết cho 3, nên a chia hết cho 3: a = 0; 3; 6; 9. Các số: 7035; 7335; 7635; 7935.
Hỏi đáp
Sao không chia thẳng cho nhanh?
Với một số cụ thể thì chia thẳng cũng được. Nhưng khi số có chữ chưa biết như \(\overline{a378b}\), em không chia thẳng được; dấu hiệu chia hết cho phép biến điều kiện chia hết thành điều kiện về từng chữ số.
Vì sao dấu hiệu chia hết cho 4 xét 2 chữ số cuối, còn chia hết cho 8 xét 3 chữ số cuối?
Vì 100 là số tròn trăm nhỏ nhất chia hết cho 4 (100 = 4 × 25), còn 1000 là số tròn nghìn nhỏ nhất chia hết cho 8 (1000 = 8 × 125); 100 thì không chia hết cho 8. Phần từ hàng trăm (với 4) hoặc hàng nghìn (với 8) trở lên chắc chắn chia hết, chỉ còn phần đuôi cần xét.
Một số chia hết cho 9 thì có chia hết cho 3 không?
Có, vì 9 = 3 × 3: chia được thành các nhóm 9 thì mỗi nhóm 9 lại chia đều thành 3 nhóm 3. Điều ngược lại không đúng (123 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9).