TDNTestCách dùng bài này
Bài gồm 6 dạng toán về chia hết và chia có dư, mỗi dạng có các ví dụ từ dễ đến khó. Với mỗi dạng, em đọc theo thứ tự: nhận biết → hướng làm → ví dụ (tự làm trước, rồi mới xem lời giải) → bẫy hay gặp.
Lý do vì sao các dấu hiệu chia hết đúng, mẹo số dư và các tính chất chia hết nằm ở bài Các Bài Toán Về Chia Hết - Chia Có Dư — Lý thuyết trọng tâm. Em nên đọc bài đó trước.
Nhận biết nhanh dạng toán:
- Cho sẵn các số cụ thể, hỏi số nào chia hết, tìm số nhỏ nhất/lớn nhất chia hết → Dạng 1.
- Số có chữ a, b… chưa biết, hỏi chữ số để số đó chia hết → Dạng 2.
- Cho các chữ số, hỏi lập được bao nhiêu số / số nào chia hết → Dạng 3.
- "Không làm phép tính", "chia cho … dư …", tổng, hiệu, tích → Dạng 4.
- Bài có lời văn: rổ hàng, xếp hàng, chia đều → Dạng 5.
- Bài có hình chữ nhật, chu vi, diện tích → Dạng 6.
Dấu hiệu chia hết Nâng cao
Dấu hiệu chia hết là công cụ rất mạnh trong số học. Học sinh luyện thi trường chuyên không chỉ cần thuộc dấu hiệu mà còn phải biết phối hợp nhiều dấu hiệu cùng lúc và dùng chúng để tìm chữ số chưa biết, kiểm tra tổng – hiệu, hoặc rút gọn lời giải.
Cần nhớ
- Phép chia hết là phép chia có số dư bằng 0.
- Trong phép chia có dư, số dư luôn nhỏ hơn số chia.
- Nếu a chia cho b dư 1 thì a − 1 chia hết cho b.
- Nếu a chia cho b dư b − 1 thì a + 1 chia hết cho b.
- Số 0 chia hết cho mọi số khác 0.
Các bước chung giải bài toán chia hết
- Bước 1
Đọc kĩ đề, xem đề hỏi chia hết, chia có dư, tìm chữ số chưa biết hay lập số.
- Bước 2
Xác định dấu hiệu phù hợp: xem hàng đơn vị, hai chữ số cuối, ba chữ số cuối hay tổng các chữ số.
- Bước 3
Nếu có nhiều điều kiện, ưu tiên xử lí điều kiện mạnh và rõ trước.
Ví dụ: chia hết cho 2 và 5 thì ưu tiên tìm chữ số tận cùng.
- Bước 4
Khi đã lọc được vài khả năng, thử chọn hoặc lập bảng để đối chiếu.
- Bước 5
Kiểm tra lại toàn bộ điều kiện của đề trước khi kết luận.
Các dấu hiệu chia hết
Dấu hiệu chia hết cho 11: một số chia hết cho 11 khi hiệu của tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí chẵn (đếm vị trí từ trái sang phải, lấy tổng lớn trừ tổng bé) chia hết cho 11 (bao gồm cả 0).
Ví dụ: 1364 → (1 + 6) − (3 + 4) = 0 chia hết cho 11
Kiểm tra: 1364 : 11 = 124
Lưu ý: có thể ghép các điều kiện với nhau để có dấu hiệu chia hết cho số lớn hơn:
- 6: Chia hết cho 2 và 3
- 12: Chia hết cho 3 và 4
- 15: chia hết cho 3 và 5
- 45: chia hết cho 5 và 9
Chỉ ghép được hai số không có thừa số chung như các cặp trên. Vì sao các dấu hiệu này đúng: xem bài Lý thuyết trọng tâm, mục 3–5.
Dạng 1. Nhận biết và kiểm tra chia hết Nâng cao
Nhận biết
Đề cho sẵn các số cụ thể (hoặc một khoảng số như "có hai chữ số", "có ba chữ số"), hỏi số nào chia hết, hoặc số nhỏ nhất/lớn nhất chia hết cho một số. Đây là dạng cơ bản nhưng rất quan trọng. Làm nhanh dạng này sẽ giúp học sinh tiết kiệm nhiều thời gian khi làm bài thi.
Hướng làm
- Đọc từng số, chọn đúng dấu hiệu thay vì chia trực tiếp.
- Nếu đề hỏi "vừa chia hết cho ... vừa chia hết cho ..." thì kiểm tra lần lượt từng điều kiện, điều kiện về chữ số tận cùng trước.
- Nếu đề hỏi "chia hết cho số này nhưng không chia hết cho số kia" thì kiểm tra đồng thời hai điều kiện.
- Tìm số nhỏ nhất (lớn nhất): bắt đầu từ số nhỏ nhất (lớn nhất) có thể rồi tăng (giảm) dần.
Ví dụ 1
Trong các số 35, 50, 26, 300, 5000, 5443, 8, số nào vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 2?
Lời giải:
Chia hết cho 5 thì tận cùng là 0 hoặc 5
Chia hết cho 2 thì tận cùng là số chẵn.
Muốn vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 2 thì số phải tận cùng bằng 0.
Vậy các số cần tìm là: 50, 300, 5000.
Thử lại: 50 : 10 = 5
300 : 10 = 30
5000 : 10 = 500.
Số 35 tận cùng 5, lẻ nên không chia hết cho 2.
Đáp số: 50, 300, 5000.
Ví dụ 2
Tìm các số lẻ có hai chữ số vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 9.
Lời giải:
Số lẻ chia hết cho 5 thì tận cùng phải là 5.
Trong các số có hai chữ số tận cùng là 5: 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95 thì chỉ có 45 có tổng chữ số bằng 9, chia hết cho 9.
Vậy số cần tìm là 45.
Thử lại: 45 : 5 = 9 và 45 : 9 = 5.
Đáp số: 45
Ví dụ 3
Tìm số nhỏ nhất có 3 chữ số chia hết cho cả 2, 3 và 5.
Lời giải:
Chia hết cho 2 và 5 thì tận cùng phải là 0.
Số nhỏ nhất có 3 chữ số tận cùng là 0 là 100.
Kiểm tra chia hết cho 3: 1 + 0 + 0 = 1 không chia hết cho 3.
Tăng dần: 110 có tổng chữ số là 2, chưa được
120 có tổng chữ số là 3, được.
Vậy số cần tìm là 120.
Thử lại: 120 : 2 = 60
120 : 3 = 40
120 : 5 = 24.
Đáp số: 120
Bẫy hay gặp
Vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 thì tận cùng là 0 hoặc 5, nên chọn cả 35.
Tận cùng 5 là số lẻ, không chia hết cho 2. Phải thỏa cả hai điều kiện cùng lúc: chỉ còn tận cùng 0.
Dạng 2. Tìm chữ số chưa biết trong một số Nâng cao
Nhận biết
Số được viết có chữ thay cho chữ số, như \(\overline{2026ab}\), \(\overline{a378b}\), hoặc đề yêu cầu "viết thêm chữ số vào bên trái/bên phải" để số chia hết cho một số cho trước.
Hướng làm
Để giải dạng này, thường tìm chữ số hàng đơn vị trước nếu đề có điều kiện chia hết cho 2 hoặc 5, rồi tới xét các chữ số với các dấu hiệu chia hết cho 3 hoặc 9 để tìm các chữ số còn lại.
- Nếu có điều kiện chia hết cho 2 hoặc 5 thì xử lí chữ số tận cùng trước.
- Nếu có điều kiện chia hết cho 4, 8 hoặc 25 thì xử lí 2 hoặc 3 chữ số cuối trước.
- Sau đó mới dùng tổng chữ số để xét chia hết cho 3 hoặc 9.
- Khi cần, lập bảng thử các chữ số 0 đến 9 để tránh sót. Nhớ: chữ số đầu tiên khác 0; đề nói "các chữ số khác nhau" thì loại các trường hợp trùng.
Ví dụ 1
Cho số tự nhiên N = \(\overline{2026ab}\), tìm số N biết số N chia hết cho cả 2, 5 và 9.
Lời giải:
Muốn chia hết cho 2 và 5 thì chữ số tận cùng phải là 0, nên b = 0.
Khi đó số là: N = \(\overline{2026a0}\).
Tổng các chữ số của N là: 2 + 0 + 2 + 6 + a + 0 = 10 + a;
Để N chia hết cho 9 thì 10 + a phải là một số chia hết cho 9.
Mà 0 \(\le\) a \(\le\) 9 nên 10 + a nằm trong khoảng từ 10 đến 19
Trong khoảng này chỉ có 18 chia hết cho 9, nên 10 + a = 18, a = 8.
Vậy số cần tìm là N = 202680
Thử lại: 202680 tận cùng 0 nên chia hết cho 2 và 5
202680 : 9 = 22520.
Đáp số: 202680
Ví dụ 2
Tìm a để \(\overline{a3471}\) chia hết cho 3.
Lời giải:
Số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số phải chia hết cho 3.
Ta có a + 3 + 4 + 7 + 1 = a + 15 chia hết cho 3.
Vì 15 chia hết cho 3 nên a phải chia hết cho 3 (tính chất chia hết của tổng).
A là chữ số đầu tiên nên a khác 0.
Các giá trị phù hợp là a = 3; 6; 9.
Thử lại: 33471 : 3 = 11157
63471 : 3 = 21157
93471 : 3 = 31157.
Đáp số: 3; 6; 9.
Ví dụ 3
Cho N = \(\overline{a378b}\) là số tự nhiên có năm chữ số khác nhau. Tìm tất cả những số N sao cho số N chia hết cho 3 và 4.
Lời giải:
Điều kiện chia hết cho 4 chỉ liên quan tới hai chữ số cuối, nên làm trước (Hình 9).
N chia hết cho 4 thì \(\overline{8b}\) chia hết cho 4, vậy b = 0; 4
Hoặc 8
Mà N có năm chữ số khác nhau nên b = 0 hoặc 4 (b = 8 trùng với chữ số 8)
Nếu b = 0:
Ta có N = \(\overline{a3780}\)
Vì N chia hết cho 3 nên: a + 3 + 7 + 8 + 0 = a + 18 chia hết cho 3.
Suy ra a bằng 3
6 hoặc 9
Mặt khác, do N có năm chữ số khác nhau nên a bằng 6 hoặc 9
Thay vào ta được các số: 63780; 93780
Nếu b = 4:
Ta có N = \(\overline{a3784}\)
Vì N chia hết cho 3 nên: a + 3 + 7 + 8 + 4 = a + 22 chia hết cho 3.
Suy ra a bằng 2
5 hoặc 8
Mặt khác, do N có năm chữ số khác nhau nên a bằng 2 hoặc 5
Thay vào ta được các số: 23784; 53784
Vậy những số N thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 63780; 93780; 23784; 53784
Thử lại: 63780 : 12 = 5315
93780 : 12 = 7815
23784 : 12 = 1982
53784 : 12 = 4482 (chia hết cho 12 tức là chia hết cho cả 3 và 4).
Đáp số: 63780; 93780; 23784; 53784
Ví dụ 4
Hãy viết thêm vào bên trái số 123 một chữ số và bên phải hai chữ số để nhận được số bé nhất có sáu chữ số khác nhau chia hết cho 5 và 9.
Lời giải:
Gọi chữ số viết thêm vào bên trái là a (a khác 0), bên phải là b và c, ta được số cần tìm có dạng N = \(\overline{a123bc}\).
Các cặp dưới đây ghi theo thứ tự (a; b).
Vì N chia hết cho 5 nên c = 0 hoặc 5
Nếu c = 0:
N = \(\overline{a123b0}\)
Tổng các chữ số của N là: a + 1 + 2 + 3 + b + 0 = a + b + 6
Vì N chia hết cho 9 nên a + b + 6 chia hết cho 9.
Mà a + b nhỏ hơn 19, suy ra a + b bằng 3 hoặc 12.
- Nếu a + b = 3: các cặp số là (1; 2), (2; 1), (3; 0). Cặp nào cũng có chữ số trùng với 1, 2, 3 hoặc với c = 0 nên ta loại trường hợp này.
- Nếu a + b = 12: các cặp số là (3; 9), (4; 8), (5; 7), (6; 6), (7; 5), (8; 4), (9; 3). Loại các cặp có chữ số 3 và cặp (6; 6), còn 4 cặp thỏa mãn: (4; 8), (5; 7), (7; 5), (8; 4).
Ta được các số sau: 412380; 512370; 712350; 812340
Nếu c = 5:
N = \(\overline{a123b5}\)
Tổng các chữ số của N là: a + 1 + 2 + 3 + b + 5 = a + b + 11
Vì N chia hết cho 9 nên a + b + 11 chia hết cho 9.
Suy ra a + b bằng 7 hoặc 16.
- Nếu a + b = 7: các cặp số là (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), (7; 0). Các cặp có chữ số 1, 2, 3 hoặc 5 đều bị trùng, chỉ có cặp (7; 0) thỏa mãn.
- Nếu a + b = 16: các cặp số là (7; 9), (8; 8), (9; 7). Mà N là số có sáu chữ số khác nhau nên chỉ có (7; 9) và (9; 7) thỏa mãn.
Ta được các số sau: 712305; 712395; 912375
Ta có 412380 là số nhỏ nhất, nên số nhận được thỏa mãn đề bài là 412380
Thử lại: 412380 tận cùng 0 nên chia hết cho 5
4 + 1 + 2 + 3 + 8 + 0 = 18 nên chia hết cho 9 (412380 : 45 = 9164)
Sáu chữ số 4, 1, 2, 3, 8, 0 khác nhau.
Đáp số: 412380
Bẫy hay gặp
a + b = 7 thì chọn cặp (0; 7), được số 012375.
a là chữ số đầu tiên nên phải khác 0. Luôn kiểm hai điều kiện ẩn: chữ số đầu khác 0, và các chữ số khác nhau nếu đề yêu cầu. Ghi cặp theo một thứ tự cố định để khỏi nhầm.
Dạng 3. Viết số, lập số, đếm số theo điều kiện chia hết Nâng cao
Nhận biết
Đề cho trước các chữ số hoặc một khoảng số, hỏi "lập được bao nhiêu số", "có bao nhiêu số", "số nhỏ nhất/lớn nhất" thỏa mãn điều kiện chia hết. Dạng này rất hợp với đề chuyên vì kết hợp giữa cấu tạo số và dấu hiệu chia hết. Học sinh phải vừa đếm số cách chọn chữ số, vừa lọc điều kiện chia hết.
Cách làm tổng quát
- Ưu tiên xét hàng có điều kiện đặc biệt trước, thường là hàng đơn vị.
- Ví dụ: chia hết cho 2 thì hàng đơn vị là 0; 2; 4; 6; 8, chia hết cho 5 thì hàng đơn vị là 0 hoặc 5
- Nếu lập số có các chữ số khác nhau thì sau mỗi lần chọn phải giảm số cách chọn ở các hàng sau.
- Nếu chỉ yêu cầu đếm số, có thể dùng quy tắc nhân mà không cần liệt kê hết.
- Đếm các số chia hết cho m trong một khoảng: dùng phép chia (từ 1 đến 999 có 999 : m số chia hết cho m, lấy phần thương).
Ví dụ 1
Từ các chữ số 0; 4; 5; 9 lập các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 2.
Lời giải:
Từ các chữ số 0; 4; 5; 9 ta có:
Số chia hết cho 2 phải có tận cùng bằng 0 hoặc 4.
Ta chọn hàng đơn vị trước, rồi hàng trăm, rồi hàng chục (Hình 11).
Nếu tận cùng bằng 0:
- Hàng trăm: có 3 cách chọn chữ số là 4; 5; 9
- Hàng chục: có 2 cách chọn chữ số (trừ một chữ số đã chọn ở hàng trăm và một chữ số đã chọn ở hàng đơn vị)
Số các số lập được là: 3 × 2 = 6 (số)
Nếu tận cùng bằng 4:
- Hàng trăm: có 2 cách chọn chữ số là 5; 9 (chữ số 0 không thể đứng đầu)
- Hàng chục: có 2 cách chọn chữ số (trừ một chữ số đã chọn ở hàng trăm và một chữ số đã chọn ở hàng đơn vị)
Số các số lập được là: 2 × 2 = 4 (số)
Vậy tổng số các số lập được là: 6 + 4 = 10 (số)
Kiểm tra lại: liệt kê đủ 10 số: 450; 490; 540; 590; 940; 950; 504; 594; 904; 954.
Đáp số: 10 số
Ví dụ 2
Tìm số nhỏ nhất có 3 chữ số chia hết cho cả 5 và 9.
Lời giải:
Gọi số cần tìm là: \(\overline{abc}\), ta có:
Thử chữ số hàng trăm nhỏ nhất a = 1 trước (nếu có số thỏa mãn thì nó nhỏ hơn mọi số có a từ 2 trở lên), số mới sẽ là \(\overline{1bc}\)
\(\overline{abc}\) chia hết cho 5 nên tận cùng là 0 hoặc 5.
Nếu tận cùng là 0: số mới là \(\overline{1b0}\)
Tổng các chữ số là: 1 + b + 0 = 1 + b
\(\overline{1b0}\) chia hết cho 9 nên 1 + b chia hết cho 9 → b = 8, ta được 180
Nếu tận cùng là 5: số mới là \(\overline{1b5}\)
Tổng các chữ số là: 1 + b + 5 = 6 + b
\(\overline{1b5}\) chia hết cho 9 nên 6 + b chia hết cho 9 → b = 3, ta được 135
Vì 135 < 180 nên số nhỏ nhất thỏa mãn đề bài là 135.
Thử lại: 135 : 5 = 27
135 : 9 = 15.
Đáp số: 135.
Ví dụ 3
Có bao nhiêu số có ba chữ số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3?
Lời giải:
Các số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 là các số chia hết cho 6.
Các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 102; 108; 114; ...; 984; 990; 996
Đếm bằng phép chia: các số từ 1 đến 999 chia hết cho 6 là 6 × 1, 6 × 2, …
Vì 999 : 6 = 166 (dư 3) nên có 166 số.
Trong đó các số có một hoặc hai chữ số (từ 1 đến 99) là 99 : 6 = 16 (dư 3), tức 16 số.
Số các số có ba chữ số chia hết cho 6 là: 166 − 16 = 150 (số)
Vậy có 150 số có ba chữ số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3.
Kiểm tra lại: số đầu 102 = 6 × 17 và số cuối 996 = 6 × 166
Từ 17 đến 166 có 166 − 16 = 150 số.
Đáp số: 150 số
Bẫy hay gặp
Tận cùng 4 thì hàng trăm có 3 cách chọn: 0, 5, 9, nên được 3 × 2 = 6 số.
Chữ số 0 không đứng đầu: hàng trăm chỉ có 2 cách (5, 9). Vì vậy phải tách nhánh "tận cùng 0" và "tận cùng 4": hai nhánh có số cách chọn hàng trăm khác nhau.
Dạng 4. Vận dụng tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích và phép chia có dư Nâng cao
Nhận biết
Đề nói "không làm phép tính", hỏi một tổng, hiệu, tích có chia hết không; hoặc đề cho "chia cho … dư …". Tính chất chia hết của tổng và hiệu giúp giải nhanh nhiều bài mà không cần tính trực tiếp.
Cần ghi nhớ các tính chất sau
- Tính chất chia hết của Tổng/Hiệu: Nếu tất cả các số hạng trong một tổng (hoặc hiệu) đều chia hết cho m, thì tổng (hoặc hiệu) đó chia hết cho m.
- Ví dụ: 15 chia hết cho 3, 12 chia hết cho 3 → (15 + 12) = 27 chia hết cho 3.
- Tính chất chia hết của tích: Nếu một số chia hết cho m, một số khác chia hết cho n, thì tích của chúng chia hết cho tích (m × n)
- Ví dụ: 8 chia hết cho 2, 9 chia hết cho 3 → (8 × 9) = 72 chia hết cho (2 × 3) = 6.
- Tính chất chia hết khi chia có dư: nếu a chia cho m dư r thì a − r chia hết cho m
- Ví dụ: 23 : 7 = 3 dư 2 → 23 − 2 = 21 chia hết cho 7
- Tính chất chia có dư với tổng: Nếu một tổng mà các số hạng khi chia cho m có tổng các số dư chia hết cho m, thì tổng đó chia hết cho m.
- Ví dụ: 7 : 3 = 2 dư 1; 5 : 3 = 1 dư 2 → dư 1 + dư 2 = 3 chia hết cho 3 → (7 + 5) = 12 chia hết cho 3.
- Tính chất chia có dư với hiệu: Nếu một hiệu mà số bị trừ và số trừ có cùng số dư khi chia cho m, thì hiệu đó chia hết cho m.
- Ví dụ: 17 : 4 = 4 dư 1; 9 : 4 = 2 dư 1 → (17 − 9) = 8 chia hết cho 4.
Chú ý
Sử dụng tính chất phép chia có dư để xét số tận cùng của một số.
Nếu a chia 2 dư 1 thì chữ số tận cùng của nó bằng: 1; 3; 5; 7 hoặc 9
Nếu a chia 5:
- Dư 1 thì chữ số tận cùng của nó bằng 1 hoặc 6
- Dư 2 thì chữ số tận cùng của nó bằng 2 hoặc 7
- Dư 3 thì chữ số tận cùng của nó bằng 3 hoặc 8
- Dư 4 thì chữ số tận cùng của nó bằng 4 hoặc 9
Ngoài ra, một số chia cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu (xem bài Lý thuyết trọng tâm, mục 3).
Ví dụ 1
Không làm phép tính, xét xem 240 + 123 có chia hết cho 3 không.
Lời giải:
240 có tổng các chữ số 6, 123 có tổng các chữ số 6, nên cả hai số đều chia hết cho 3.
Vì 240 chia hết cho 3 và 123 cũng chia hết cho 3 nên tổng 240 + 123 chia hết cho 3.
Thử lại: 240 + 123 = 363 = 3 × 121.
Kết luận: 240 + 123 chia hết cho 3.
Ví dụ 2
Không làm phép tính, xét xem 48 + 60 + 29 có chia hết cho 2 không.
Lời giải:
Vì 48 và 60 chia hết cho 2 nhưng 29 không chia hết cho 2, và đây là số hạng duy nhất không chia hết cho 2, nên tổng không chia hết cho 2 (số 29 thừa 1, không có số hạng nào bù vào).
Thử lại: 48 + 60 + 29 = 137, là số lẻ.
Kết luận: 48 + 60 + 29 không chia hết cho 2.
Ví dụ 3
Tổng kết năm học 2025 - 2026, một trường tiểu học có 462 học sinh tiên tiến và 195 học sinh giỏi, Ban giám hiệu dự định thưởng cho mỗi học sinh giỏi nhiều hơn học sinh tiên tiến 2 quyển vở. Cô văn phòng phẩm tính phải mua 2026 quyển thì vừa đủ phát thưởng. Hỏi cô văn phòng tính đúng hay sai? Giải thích tại sao?
Lời giải:
Theo đề ra ta thấy, số học sinh tiên tiến (462, tổng chữ số 12) và số học sinh giỏi (195, tổng chữ số 15) đều là những số chia hết cho 3, vì vậy số vở thưởng cho mỗi loại học sinh phải là số chia hết cho 3 (tích có một thừa số chia hết cho 3).
Suy ra tổng số vở phát thưởng cũng là một số chia hết cho 3.
Mà số 2026 có tổng chữ số 2 + 0 + 2 + 6 = 10, không chia hết cho 3, nên kết luận cô văn phòng đã tính sai.
Kết luận: Cô văn phòng tính sai, vì tổng số vở phải chia hết cho 3 còn 2026 không chia hết cho 3.
Ví dụ 4
Tìm các số N = \(\overline{a459b}\) biết số N khi chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.
Lời giải:
N chia cho 5 dư 1 nên b = 1 hoặc b = 6
Mặt khác, N chia cho 2 dư 1 (N là số lẻ) nên b = 1.
Thay vào ta được N = \(\overline{a4591}\)
N chia cho 9 dư 1 nên N − 1 chia hết cho 9 (mẹo số dư: bớt 1)
Số N − 1 sẽ là: \(\overline{a4590}\)
Tổng các chữ số: a + 4 + 5 + 9 + 0 = a + 18 chia hết cho 9 nên a = 9 (vì a đứng đầu nên không thể bằng 0)
Vậy với a = 9 và b = 1, ta được số N cần tìm là: N = 94591.
Thử lại: 94591 lẻ nên chia 2 dư 1
Tận cùng 1 nên chia 5 dư 1
Tổng chữ số 9 + 4 + 5 + 9 + 1 = 28, chia 9 dư 1, nên 94591 chia 9 dư 1.
Đáp số: 94591
Ví dụ 5
Tìm số tự nhiên bé nhất khác 1 sao cho khi chia số đó cho 3; 4; 5; và 7 đều dư 1.
Lời giải:
Cách 1:
Gọi số phải tìm là a
Theo đề bài, a chia cho 3; 4; 5
Và 7 đều dư 1 nên b = a − 1 chia hết cho 3; 4; 5
Và 7
B chia hết cho 4 (nên chia hết cho 2) và cho 5 nên b có tận cùng bằng 0
Trường hợp b có một chữ số: b = 0 suy ra a = 1 (loại, vì số phải tìm khác 1)
Trường hợp b có hai chữ số: b có tận cùng bằng 0 và chia hết cho 7 nên b = 70 (loại, vì 70 không chia hết cho 3)
Trường hợp b có ba chữ số: b có tận cùng bằng 0, vậy b = \(\overline{mn0}\)
Vì b chia hết cho 4 nên \(\overline{n0}\) chia hết cho 4, n bằng 0; 2; 4; 6
Hoặc 8
Số \(\overline{mn0}\) chia hết cho 7 nên b có thể là: 140; 280; 420; 560; 700; 840 hoặc 980
Trong các số trên chỉ có 420 và 840 chia hết cho 3 nên b = 420 hoặc 840 (Hình 13)
Suy ra a = 421 hoặc 841
Vậy số bé nhất khi chia cho 3; 4; 5
Và 7 đều dư 1 là 421
Cách 2: Nâng cao
Gọi số phải tìm là a
Theo đề bài, a chia cho 3; 4; 5
Và 7 đều dư 1 nên b = a − 1 chia hết cho 3; 4; 5
Và 7
Nếu b : 7 = c thì c chia hết cho 3; 4
5. Vì sao: b = 7 × c chia hết cho 3, mà 7 không có thừa số chung nào với 3, nên phần "chia hết cho 3" phải nằm hết trong c
Với 4 và 5 cũng vậy.
Nếu c : 5 = d thì d chia hết cho 3 và 4 (cùng lí do: 5 không có thừa số chung với 3 và 4)
Nếu d : 4 = m thì m chia hết cho 3
A khác 1 nên b khác 0, do đó m khác 0.
Số tự nhiên bé nhất khác 0 chia hết cho 3 là 3, vậy m = 3
→ d = 3 × 4 = 12 → c = 12 × 5 = 60 → b = 60 × 7 = 420
Vậy a = 420 + 1 = 421
Thử lại: 421 : 3 = 140 (dư 1)
421 : 4 = 105 (dư 1)
421 : 5 = 84 (dư 1)
421 : 7 = 60 (dư 1).
Đáp số: 421
Ví dụ 6
Hãy viết thêm vào bên trái và bên phải số 35 mỗi bên một chữ số để nhận được số chẵn lớn nhất có bốn chữ số khác nhau mà khi chia cho 3 dư 2, cho 5 dư 3.
Lời giải:
Gọi chữ số viết thêm bên trái là a và viết thêm bên phải là b ta được số cần tìm có dạng: N = \(\overline{a35b}\)
Vì N chia cho 5 dư 3 nên b = 3 hoặc 8
Mặt khác, N là số chẵn nên b = 8
Thay vào ta được N = \(\overline{a358}\)
N chia 3 dư 2 nên tổng các chữ số a + 3 + 5 + 8 = a + 16 chia cho 3 dư 2, suy ra a bằng 1; 4; 7 (thử: 17, 20, 23 đều chia 3 dư 2).
Các chữ số 1, 4, 7 đều khác 3, 5, 8, ta được 3 số: 1358; 4358; 7358.
Vậy số lớn nhất cần tìm là: 7358.
Thử lại: 7358 chẵn
7358 : 5 = 1471 (dư 3)
7358 : 3 = 2452 (dư 2)
Bốn chữ số 7, 3, 5, 8 khác nhau.
Đáp số: 7358
Bẫy hay gặp
Có hai số hạng không chia hết cho 2 (29 và 31) nên 29 + 31 không chia hết cho 2.
29 + 31 = 60 chia hết cho 2: hai phần thừa ghép thành một nhóm. Chỉ kết luận "không chia hết" khi có đúng một số hạng không chia hết.
Số chia cho 4 và 6 đều dư 1 thì nhỏ nhất là 4 × 6 + 1 = 25.
4 và 6 có thừa số chung 2, nên không nhân thẳng được. Số bớt 1 phải chia hết cho cả 4 và 6: nhỏ nhất là 12, nên đáp số là 13 (13 : 4 = 3 dư 1; 13 : 6 = 2 dư 1). Cách 2 của Ví dụ 5 đúng vì 3, 4, 5, 7 không có thừa số chung.
Dạng 5. Bài toán có lời văn và bài toán suy luận Nâng cao
Nhận biết
Đề kể chuyện rổ hàng, xếp hàng, chia đều, "gấp … lần". Học sinh phải chuyển bài toán sang ngôn ngữ chia hết hoặc chia có dư:
- "A gấp 4 lần B" → A + B là 5 phần bằng nhau, nên A + B chia hết cho 5.
- "Xếp hàng 10 dư 8" → số đó chia cho 10 dư 8, tức chữ số tận cùng là 8.
Ví dụ 1
Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả trong mỗi rổ lần lượt là: 104; 115; 132; 136 và 148 quả. Sau khi bán được 1 rổ cam, người bán hàng thấy rằng số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi lúc đầu cửa hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại?
Lời giải:
Tổng số cam và chanh của cửa hàng đó là: 104 + 115 + 132 + 136 + 148 = 635 (quả)
Ta thấy tổng số cam và chanh là 635 quả chia hết cho 5.
Số chanh còn lại gấp 4 lần số cam, nếu coi số cam là 1 phần thì số chanh là 4 phần bằng nhau như thế, tổng có 5 phần bằng nhau cho nên tổng số quả còn lại chia hết cho 5.
Suy ra số cam đã bán cũng phải là số chia hết cho 5 (hiệu của hai số chia hết cho 5).
Trong số 5 rổ cam và chanh của cửa hàng, chỉ có rổ đựng 115 quả là chia hết cho 5 (tận cùng 5; các rổ khác tận cùng 4, 2, 6, 8).
Vậy cửa hàng đó đã bán rổ đựng 115 quả cam
Số quả cam còn lại bằng 1 phần trong 5 phần số quả chưa bán, do đó số cam còn lại là:
(104 + 132 + 136 + 148) : 5 = 104 (quả)
Suy ra rổ đựng 104 quả là rổ cam còn lại và 3 rổ đựng: 132
136 và 148 quả là các rổ chanh
Số cam lúc đầu của cửa hàng đó là: 115 + 104 = 219 (quả)
Số chanh lúc đầu là: 635 − 219 = 416 (quả)
Thử lại: sau khi bán, chanh 132 + 136 + 148 = 416 quả, cam 104 quả, 416 = 4 × 104.
Đây là cách chọn rổ duy nhất, vì rổ bán phải chia hết cho 5 và chỉ có một rổ như vậy.
Đáp số: 219 quả cam; 416 quả chanh.
Ví dụ 2
Một cửa hàng thực phẩm có 7 rổ đựng trứng gà và trứng vịt (mỗi rổ chỉ đựng một loại trứng). Số trứng trong mỗi rổ theo thứ tự lần lượt là: 45; 56; 60; 66; 75; 85 và 92 quả. Sau khi bán hết 6 rổ, chỉ còn lại 1 rổ trứng gà, người bán hàng thấy rằng trong số trứng đã bán, số trứng vịt gấp 3 lần số trứng gà. Hỏi lúc đầu cửa hàng có bao nhiêu quả trứng mỗi loại?
Lời giải:
Tổng số trứng cửa hàng có là: 45 + 56 + 60 + 66 + 75 + 85 + 92 = 479 (quả)
Số trứng vịt đã bán gấp 3 lần số trứng gà, coi số trứng gà là 1 phần thì số trứng vịt là 3 phần như vậy, tổng có 4 phần bằng nhau, như vậy tổng số trứng đã bán phải là một số chia hết cho 4.
Ta có: 479 : 4 = 119 dư 3, tức tổng số trứng ban đầu chia cho 4 dư 3, mà số trứng đã bán chia hết cho 4 nên số trứng còn lại phải là một số chia cho 4 dư 3.
Trong 7 rổ trứng, chỉ có rổ đựng 75 quả là chia 4 dư 3, vậy rổ còn lại là rổ đựng 75 quả trứng gà.
Số trứng gà đã bán bằng 1 phần trong 4 phần tổng số trứng đã bán, do đó số trứng gà đã bán là: (45 + 56 + 60 + 66 + 85 + 92) : 4 = 101 (quả)
Suy ra hai rổ đựng 45 và 56 quả là các rổ trứng gà đã bán (45 + 56 = 101; không có cách chọn rổ nào khác có tổng 101) và 4 rổ đựng 60; 66; 85 và 92 quả là các rổ đựng trứng vịt
Số trứng gà lúc đầu của cửa hàng đó là: 75 + 45 + 56 = 176 (quả)
Số trứng vịt lúc đầu của cửa hàng đó là: 479 − 176 = 303 (quả)
Thử lại: trứng vịt đã bán 60 + 66 + 85 + 92 = 303 = 3 × 101.
Đáp số: 176 quả trứng gà; 303 quả trứng vịt
Ví dụ 3
Tổng số học sinh khối lớp Một của một trường tiểu học là số có ba chữ số có chữ số hàng trăm bằng 3. Nếu các em xếp hàng 10 hoặc 12 đều dư 8, mà xếp hàng 8 thì không dư. Tính số học sinh khối lớp Một của trường đó.
Lời giải:
Theo đề bài, số học sinh khối lớp Một của trường đó có dạng \(\overline{3ab}\).
Các em xếp hàng 10 dư 8, tức là \(\overline{3ab}\) chia cho 10 dư 8, vậy b = 8, thay vào ta được số \(\overline{3a8}\)
Mặt khác, các em xếp hàng 12 dư 8 nên số: \(\overline{3a8}\) − 8 = \(\overline{3a0}\) phải chia hết cho 12, tức chia hết cho cả 3 và 4:
- \(\overline{3a0}\) chia hết cho 4 nên \(\overline{a0}\) chia hết cho 4, do đó a là chữ số chẵn: 0; 2; 4; 6; 8.
- \(\overline{3a0}\) chia hết cho 3 nên 3 + a chia hết cho 3, do đó a = 0; 3; 6; 9.
Suy ra a = 0 hoặc a = 6.
- a = 0: số đó là 308 không chia hết cho 8 (loại)
- a = 6: số đó là 368 : 8 = 46 (thỏa mãn)
Vậy số học sinh của khối lớp Một của trường đó là 368 học sinh.
Thử lại: 368 : 10 = 36 (dư 8)
368 : 12 = 30 (dư 8)
368 : 8 = 46.
Đáp số: 368 học sinh
Bẫy hay gặp
"Số chanh gấp 4 lần số cam" nên tổng chia hết cho 4.
Cam 1 phần, chanh 4 phần, tổng là 5 phần, nên tổng chia hết cho 5. Luôn vẽ hoặc đếm số phần trước khi chọn số chia.
Dạng 6. Bài toán có yếu tố hình học Nâng cao
Nhận biết
Dấu hiệu chia hết còn xuất hiện trong các bài xếp hình, chia đoạn, chia ô, lát gạch, xếp thành hàng.
Bản chất là kiểm tra xem một số đo hoặc số phần tử có chia hết cho một số nào đó hay không.
Ví dụ 1
Một hình chữ nhật có chu vi 84 cm, chiều dài hơn chiều rộng 6 cm. Hỏi diện tích có chia hết cho 3 không?
Lời giải:
Từ chu vi 84 cm suy ra tổng chiều dài và chiều rộng là 84 : 2 = 42 cm.
Hiệu của chiều dài và chiều rộng là 6 cm
Chiều dài là: (42 + 6) : 2 = 24 (cm) (tìm số lớn khi biết tổng và hiệu)
Chiều rộng là: 42 − 24 = 18 (cm)
Diện tích là: 24 × 18 (cm2)
Vì 24 chia hết cho 3 nên tích cũng chia hết cho 3.
Không cần tính ra diện tích: chỉ cần một thừa số chia hết cho 3.
Vậy diện tích chia hết cho 3.
Thử lại: 24 × 18 = 432, tổng chữ số 4 + 3 + 2 = 9 chia hết cho 3 (432 : 3 = 144).
Kết luận: Diện tích (432 cm2) chia hết cho 3.
Bẫy hay gặp
Lấy 84 làm tổng chiều dài và chiều rộng: chiều dài (84 + 6) : 2 = 45 cm.
Chu vi bằng 2 lần tổng chiều dài và chiều rộng, nên tổng là 84 : 2 = 42 cm, chiều dài 24 cm, chiều rộng 18 cm.