TDNTestTrước khi bắt đầu
Bài này giúp em tính nhanh những tổng rất dài nhờ nhìn ra quy luật, và hiểu vì sao các mẹo tính đúng: ghép cặp, nhân rồi trừ, tách thành hiệu để triệt tiêu. Hiểu được điều đó, em không phải học thuộc công thức mà vẫn tự lập lại được. Đọc xong, em hãy sang bài Các dạng bài và ví dụ để luyện từng dạng.
Học xong, em làm được 4 việc:
- Nhận ra tổng thuộc loại nào để chọn cách tính.
- Tính nhanh tổng dãy cách đều, tổng các số lẻ, số chẵn liên tiếp và tìm số chưa biết trong tổng.
- Tính tổng có quy luật nhân (cả với phân số) bằng cách nhân rồi trừ.
- Tính tổng các tích liên tiếp và tổng phân số bằng cách tách thành hiệu để triệt tiêu.
Nhãn: L4 kiến thức lớp 4; L5 kiến thức lớp 5; Nâng cao kiến thức luyện thi vào lớp 6.
Chủ đề này trong đề Trần Đại Nghĩa Trọng tâm
Nhóm dãy số và tổng có quy luật có trong bài khảo sát vào lớp 6 Trần Đại Nghĩa ở 4 trong 5 năm gần đây (2022–2026), nhiều câu nhất trong các nhóm. Riêng tổng có quy luật:
- 2022, Bài 2 (tự luận): cho A = 1 + 3 + 5 + … + 2023 và B = 2 + 4 + 6 + … + 2022, tính A − B. Cách nhanh nhất là ghép cặp (mục 1), không cần tính riêng A và B.
- Các đề thi thử bám theo đề thật hay hỏi thêm tổng phân số tách thành hiệu (mục 5) và tổng các tích liên tiếp (mục 4).
Đề thật có trong quiz TĐN · Đề thi thật; lời giải đầy đủ ở Ví dụ 6, Dạng 1 của bài Các dạng bài và ví dụ.
Nhắc lại kiến thức cần dùng
1. Dãy cách đều L5
Số số hạng = (số cuối − số đầu) : khoảng cách + 1; tổng = (số đầu + số cuối) × số số hạng : 2. Phần này em đã học ở bài Dãy Số, kể cả cách nhân rồi trừ để tính tổng dãy số nhân.
2. Trừ hai phân số khác mẫu L4
Quy đồng mẫu số rồi trừ hai tử số: \(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}\). Phân số sẽ được học kĩ hơn ở chủ đề Phân Số.
1Nhận dạng tổng có quy luật L5
| Thấy trong đề | Loại tổng | Cách tính |
|---|---|---|
| Các số hơn kém nhau một số không đổi: 2 + 5 + 8 + … | Dãy cách đều | Ghép cặp xuôi ngược, hoặc công thức (mục 2) |
| Số sau gấp số trước một số lần: 2 + 6 + 18 + …; \(\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \)… | Quy luật nhân | Nhân cả tổng với số lần đó rồi trừ (mục 3) |
| Tổng các tích hai số liên tiếp: 1 × 2 + 2 × 3 + … | Tích liên tiếp | Viết mỗi tích thành hiệu để triệt tiêu (mục 4) |
| Phân số có mẫu là tích các số cách đều: \(\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \)… | Phân số tách được | Tách mỗi phân số thành hiệu (mục 5) |
2Ba tổng quen thuộc và vì sao L5
\(1 + 2 + 3 + \dots + n = n \times (n + 1) : 2\)
tổng n số tự nhiên đầu tiên
Vì sao? Xếp các số 1, 2, 3, 4 thành bậc thang ô vuông. Lấy thêm một bậc thang y hệt, lật ngược rồi ghép vào: được hình chữ nhật 4 hàng, 5 cột. Tổng cần tìm là một nửa hình chữ nhật: 4 × 5 : 2 = 10.
\(1 + 3 + 5 + \dots + (2 \times n - 1) = n \times n\)
tổng n số lẻ đầu tiên
Vì sao? Mỗi số lẻ là một lớp ô hình chữ L bọc quanh hình vuông trước đó: 1 ô; thêm 3 ô được hình vuông 2 × 2; thêm 5 ô được 3 × 3; thêm 7 ô được 4 × 4.
\(2 + 4 + 6 + \dots + 2 \times n = n \times (n + 1)\)
mỗi số chẵn gấp đôi một số của tổng 1 + 2 + … + n
1 + 2 + … + 100 = 100 × 100 : 2 = 5000.
Hình chữ nhật có 100 hàng và 101 cột: 100 × 101 : 2 = 5050. Thử với số nhỏ để nhớ đúng: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 4 × 5 : 2, không phải 4 × 4 : 2 = 8.
3Nhân rồi trừ: tổng có quy luật nhân Nâng cao
Khi số sau gấp số trước q lần, em nhân cả tổng với q: mỗi số "dời" sang thành số đứng sau nó, các số giống nhau trừ đi hết, chỉ còn số cuối mới và số đầu cũ (xem bài Dãy Số). Cách này dùng được cả khi số sau bằng số trước nhân với một phân số như \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\) L5.
Với \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}\), hình dưới cho thấy ngay kết quả: mỗi lần tô một nửa phần còn lại của thanh, phần chưa tô đúng bằng số hạng cuối.
Kiểm bằng cách nhân rồi trừ: gọi S là tổng, S × 2 = 1 + \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\). Lấy S × 2 trừ S, các số \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}\) mất đi, còn S = 1 − \(\frac{1}{16} = \frac{15}{16}\).
A = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486; A × 3 − A = 486 − 2, nên A = 484 : 2 = 242.
Khi nhân với 3, số cuối 486 cũng dời thành 1458: A × 3 − A = 1458 − 2 = 1456, A = 728. Thử lại bằng cộng thẳng: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728.
4Triệt tiêu: tổng các tích liên tiếp Nâng cao
Tổng các tích liên tiếp: hiểu 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 từng bước
- Bước 1
Nhận ra: mỗi số hạng là tích hai số liên tiếp.
Cộng thẳng: 2 + 6 + 12 + 20 = 40.
Với nhiều số hạng thì cộng thẳng rất lâu, nên ta tìm cách triệt tiêu.
- Bước 2
Nhân mỗi tích với 3 và viết thành hiệu: 3 = (số sau) − (số trước), ví dụ 2 × 3 × 3 = 2 × 3 × (4 − 1) = 2 × 3 × 4 − 1 × 2 × 3.
- Bước 3
Cộng các dòng: tích ba số ở dòng trên bị trừ đi ở dòng ngay dưới, nên triệt tiêu dần, còn 4 × 5 × 6 = 120 (Hình 4).
Vậy 3 lần tổng là 120.
- Bước 4
Kết luận và thử lại: tổng = 120 : 3 = 40, đúng bằng cộng thẳng.
Tổng quát: 1 × 2 + 2 × 3 + … + n × (n + 1) = n × (n + 1) × (n + 2) : 3.
Áp công thức n × (n + 1) × (n + 2) : 3 cho 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 với n = 5 (vì số lớn nhất là 5): 5 × 6 × 7 : 3 = 70.
n là số thứ nhất của tích cuối cùng: tích cuối 4 × 5 nên n = 4, tổng 4 × 5 × 6 : 3 = 40. Luôn thử lại với vài số hạng đầu.
5Tách phân số thành hiệu L5 Nâng cao
Vì sao \(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \times 3}\)? Chia cả hai thanh thành 6 phần: \(\frac{1}{2}\) là 3 phần, \(\frac{1}{3}\) là 2 phần, chênh nhau đúng 1 phần, tức \(\frac{1}{6}\).
Quy tắc tách
- \(\frac{1}{k \times (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}\): hai thừa số ở mẫu hơn kém 1, tử là 1.
- \(\frac{m}{b \times (b + m)} = \frac{1}{b} - \frac{1}{b + m}\): tử bằng hiệu hai thừa số ở mẫu. Ví dụ \(\frac{3}{4 \times 7} = \frac{1}{4} - \frac{1}{7}\) vì 7 − 4 = 3.
- \(\frac{2 \times m}{b \times (b + m) \times (b + 2 \times m)} = \frac{1}{b \times (b + m)} - \frac{1}{(b + m) \times (b + 2 \times m)}\): mẫu là tích ba số cách đều m, tử là 2 × m.
- Tử chưa đúng như vậy thì nhân (hoặc chia) cả tổng với một số cho tử đúng, tính xong thì đổi ngược lại.
Khi cộng các phân số đã tách, số trừ của phân số này gặp số cộng của phân số sau và mất đi, chỉ còn số đầu trừ số cuối:
\(\frac{1}{3 \times 5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}\).
\(\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15}\), gấp đôi \(\frac{1}{15}\). Vì 5 − 3 = 2 nên tử phải là 2: \(\frac{2}{3 \times 5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}\), còn \(\frac{1}{3 \times 5} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) : 2\).
🔗 Liên hệ
Cách ghép cặp và công thức dãy cách đều là của bài Dãy Số. Tổng phân số tách thành hiệu sẽ gặp lại ở chủ đề Phân Số và rất hay ra trong đề thi vào lớp 6 ở dạng "tính nhanh".
6Từ vựng tiếng Anh về tổng có quy luật
Trong bài khảo sát, các câu trắc nghiệm Toán viết bằng tiếng Anh. Em cần đọc được các từ sau.
| Tiếng Anh | Tiếng Việt | Ví dụ trong đề |
|---|---|---|
| sum, total | tổng | Find the sum of the first 100 terms. |
| term | số hạng | the first term, the last term |
| sequence, pattern | dãy số, quy luật | the numbers follow a pattern |
| consecutive | liên tiếp | five consecutive numbers |
| odd, even | lẻ, chẵn | 1 + 3 + 5 + … is a sum of odd numbers |
| difference | hiệu, khoảng cách | the difference between two terms is 3 |
| product | tích | 1 × 2 + 2 × 3: a sum of products |
| fraction | phân số | Write the answer as a fraction, e.g. 1/2. |
| square number | số chính phương (tích một số với chính nó) | 1 + 4 + 9 + 16: a sum of square numbers |
| calculate, evaluate | tính, tính giá trị | Evaluate A − B. |
Ghi nhớ
SUM: TỔNG · TERM: SỐ HẠNG
Tổng kết
Cần nhớ
- Nhìn quy luật trước khi tính: cộng đều, nhân đều, tích liên tiếp hay phân số có mẫu là tích.
- 1 + 2 + … + n = n × (n + 1) : 2 (hai bậc thang); 1 + 3 + … + (2 × n − 1) = n × n (hình vuông).
- Quy luật nhân: nhân cả tổng với số lần gấp rồi trừ; nhớ số cuối cũng "dời" ra.
- Tích liên tiếp: nhân 3, viết mỗi tích thành hiệu để triệt tiêu.
- Phân số: tử bằng hiệu hai thừa số ở mẫu thì tách được; tử chưa đúng thì nhân cả tổng cho đúng.
- Luôn thử lại công thức với vài số hạng đầu.
Hỏi đáp
Nhớ nhầm công thức thì làm thế nào?
Thử ngay với n nhỏ, ví dụ n = 2 hoặc n = 3, rồi so với cộng thẳng. Ví dụ 1 + 2 + 3 = 6 = 3 × 4 : 2, nên chắc chắn là n × (n + 1) : 2.
Vì sao bài tính tổng tích liên tiếp lại nhân với 3?
Vì cần viết mỗi tích k × (k + 1) thành hiệu hai tích ba số liên tiếp: k × (k + 1) × (k + 2) − (k − 1) × k × (k + 1) = k × (k + 1) × 3. Số 3 chính là (k + 2) − (k − 1).
Tổng phân số có tử không bằng hiệu hai thừa số ở mẫu thì sao?
Nhân hoặc chia cả tổng với một số để tử thành đúng hiệu đó. Ví dụ tử là 1 mà hai thừa số hơn kém 2: tổng = (tổng các phân số tử 2) : 2. Tính xong nhớ đổi ngược lại.